Cho tam giác $A B C$ có $H$ là trực tâm và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi $B^{\prime}$ là điểm đối xứng của $B$ qua $O$. Chứng minh $\overrightarrow{A H}=\overrightarrow{B^{\prime} C}$.
Cho tam giác ABC có H là trực tâm . O là tâm đường tròn ngoại tiếp . Gọi B' là điểm đối xứng của B qua O. CM: \(\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{BC}\)
Cho tam giác ABC có H là trực tâm . O là tâm đường tròn ngoại tiếp . Gọi B' là điểm đối xứng của B qua O. CM: \(\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{B'C}\)
Hình bạn tự vẽ nhé.
Ta có: B' là điểm đối xứng của B qua O( tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) \(\Rightarrow BB'\) là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC \(\Rightarrow\Lambda BAB'\) và \(\Lambda BCB'\) là góc chắn nửa đường tròn ( đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB'\perp AB\\B'C\perp BC\end{matrix}\right.\) Mà \(\left\{{}\begin{matrix}HC\perp AB\\AH\perp BC\end{matrix}\right.\) ( do H là trực tâm của tam giác ABC) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB'//HC\\AH//B'C\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) AB'CH là hình bình hành \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH//B'C\\AH=B'C\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrowđpcm\)
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi G,H lần lượt là trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC, D là điểm đối xứng với B qua O. a. Chứng minh AHCD là hình bình hành. Suy ra \(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=2\overrightarrow{HO}\). b. Chứng minh: \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}\). Suy ra O,G,H thẳng hàng. Giúp mình với ạ
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, H là trực tâm của tam giác ABC, B' là điểm đối xứng với B qua O.
CM: \(\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{B'C}\)
Xét (O) có
ΔB'AB nội tiếp
BB' là đường kính
Do đó: ΔB'AB vuông tại A
Suy ra: B'A\(\perp\)BA
hay CH//A'B'
Xét (O) có
ΔB'CB nội tiếp
BB' là đường kính
Do đó: ΔB'CB vuông tại C
=>B'C\(\perp\)BC
hay B'C//AH
Xét tứ giác AHCB' có
AH//CB'
AB'//CH
Do đó:AHCB' là hình bình hành
Suy ra: \(\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{B'C}\)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, H là trực tâm của tam giác ABC, B' là điểm đối xứng với B qua O.
CM: \(\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{B'C}\)
Xét (O) có
ΔB'AB nội tiếp
BB' là đường kính
Do đó: ΔB'AB vuông tại A
Suy ra: B'A\(\perp\)BA
hay CH//A'B'
Xét (O) có
ΔB'CB nội tiếp
BB' là đường kính
Do đó: ΔB'CB vuông tại C
=>B'C\(\perp\)BC
hay B'C//AH
Xét tứ giác AHCB' có
AH//CB'
AB'//CH
Do đó:AHCB' là hình bình hành
Suy ra: \(\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{B'C}\)
Cho tam giác ABC nhọn, có H là trực tâm, nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AM = 2R
a, Chứng minh tứ giác BHCM là hình bình hành
b, Gọi N là điểm đối xứng của M qua AB. Chứng minh tứ giác AHBN nội tiếp được trong một đường tròn
c, Gọi E là điểm đối xứng của M qua AC. Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng
d, Giả sử AB = R 3 . Tính diện tích phần chung của đường tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHBN
a, BH ^ AC và CM ^ AC Þ BH//CM
Tương tự => CH//BM
=> BHCM là hình bình hành
b, Chứng minh BNHC là hình bình hành
=> NH//BC
=> AH ^ NH => A H M ^ = 90 0
Mà A B N ^ = 90 0 => Tứ giác AHBN nội tiếp
c, Tương tự ý b, ta có: BHEC là hình bình hành. Vậy NH và HE//BC => N, H, E thẳng hàng
d, A B N ^ = 90 0 => AN là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHBN
AN = AM = 2R, AB = R 3 => A m B ⏜ = 120 0
S A O B = 1 2 S A B M = R 2 3 4
S A m B ⏜ = S a t A O B - S A O B = R 2 12 4 π - 3 3
=> S cần tìm = 2 S A m B ⏜ = R 2 6 4 π - 3 3
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm của tam giác. D là điểm đối xứng của A qua O
a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành
b) Chứng minh :
\(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HD}=2\overrightarrow{HO}\)
\(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=2\overrightarrow{HO}\)
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}\)
c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
Chứng minh \(\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}\). Từ đó kết luận gì về 3 điểm O, H, G ?
Có \(BH\perp AC\). (1)
\(\widehat{ADC}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) vì vậy\(AC\perp DC\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra BH//DC. (3)
Tương tự HC//BD (vì cùng vuông góc với AB). (4)
Từ (3);(4) suy ra tứ giác HCDB là hình bình hành.
b) Do O là trung điểm của AD nên \(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HD}=2\overrightarrow{HO}\).
Do M là trung điểm của BC nên \(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=2\overrightarrow{HM}=\overrightarrow{HD}\).
Vì vậy \(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HD}=2\overrightarrow{HO}\).
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}\)
\(=3\overrightarrow{HO}+2\overrightarrow{HO}=2\left(\overrightarrow{HO}+\overrightarrow{OH}\right)+\overrightarrow{HO}\)
\(=2.\overrightarrow{0}+\overrightarrow{HO}=\overrightarrow{HO}\).
c) Ta có:
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\)\(=3\overrightarrow{OG}\) (theo tính chất trọng tâm tam giác). (5)
Mặt khác theo câu b)
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}\). (6)
Theo (5) và (6) ta có: \(\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}\).
Suy ra ba điểm O, H, G thẳng hàng ( đường thẳng Ơ-le).
Cho tam giác ABC có trực tâm là H, và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi B' là điểm đối xứng với B qua O . CMR véc tơ AH= véc tơ B'C
Xét B thuộc đường tròn (O), B' đối xứng với B qua O => BB' là đường kính của (O)
=> AB' vuông góc AB. Mà CH vuông góc AB nên AB' // CH. Tương tự AH // B'C
Suy ra tứ giác AHCB' là hình bình hành => AH // B'C và AH = B'C => \(\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{B'C}\)(đpcm).