Bài 1: 

b) ĐKXĐ: \(x\ne3\)

Ta có: \(\dfrac{3-x}{20}=\dfrac{-5}{x-3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-3}{-20}=\dfrac{-5}{x-3}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2=100\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-3=10\\x-3=-10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=13\left(nhận\right)\\x=-7\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(x\in\left\{13;-7\right\}\)

Do \(1\le x\le2\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2\le3x\)

Hoàn toàn tương tự ta có \(y^2+2\le3y\)

Do đó: \(P\ge\dfrac{x+2y}{3x+3y+3}+\dfrac{2x+y}{3x+3y+3}+\dfrac{1}{4\left(x+y-1\right)}\)

\(P\ge\dfrac{x+y}{x+y+1}+\dfrac{1}{4\left(x+y-1\right)}\)

Đặt \(a=x+y-1\Rightarrow1\le a\le3\)

\(\Rightarrow P\ge f\left(a\right)=\dfrac{a+1}{a+2}+\dfrac{1}{4a}\)

\(f'\left(a\right)=\dfrac{3a^2-4a-4}{4a^2\left(a+2\right)^2}=\dfrac{\left(a-2\right)\left(3a+2\right)}{4a^2\left(a+2\right)^2}=0\Rightarrow a=2\)

\(f\left(1\right)=\dfrac{11}{12}\) ; \(f\left(2\right)=\dfrac{7}{8}\) ; \(f\left(3\right)=\dfrac{53}{60}\)

\(\Rightarrow f\left(a\right)\ge\dfrac{7}{8}\Rightarrow P_{min}=\dfrac{7}{8}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right);\left(2;1\right)\)

\(x,y,z>0\)

Áp dụng BĐT Caushy cho 3 số ta có:

\(x^3+y^3+z^3\ge3\sqrt[3]{x^3y^3z^3}=3xyz\ge3.1=3\)

\(P=\dfrac{x^3-1}{x^2+y+z}+\dfrac{y^3-1}{x+y^2+z}+\dfrac{z^3-1}{x+y+z^2}\)

\(=\dfrac{\left(x^3-1\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)}+\dfrac{\left(y^3-1\right)^2}{\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}+\dfrac{\left(z^3-1\right)^2}{\left(x+y+z^2\right)\left(x^3-1\right)}\)

Áp dụng BĐT Caushy-Schwarz ta có:

\(P\ge\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3-3\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}\)

\(\ge\dfrac{\left(3-3\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}=0\)

\(P=0\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Vậy \(P_{min}=0\)

\(\dfrac{1}{3}< \dfrac{x}{y}< \dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{4}{12}< \dfrac{x}{y}< \dfrac{6}{12}\Rightarrow\dfrac{x}{y}=\dfrac{5}{12}\Rightarrow\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{12}\)

Áp dụng t/c dtsbn:

\(\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{12}=\dfrac{2x}{10}=\dfrac{3y}{36}=\dfrac{2x+3y}{10+36}=\dfrac{19}{46}\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{95}{46}\\y=\dfrac{114}{23}\end{matrix}\right.\)

Mà \(x,y\in Z\)

Vậy ko có x,y nguyên thỏa mãn đề

khó phết

Lần lượt cộng vế và trừ vế 2 đẳng thức ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{10}{x}=x^2+3y^2\\\dfrac{2}{y}=3x^2+y^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3+3xy^2=10\\y^3+3x^2y=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x^3+3xy^2-3x^2y-y^3=8\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)^3=8\)

\(\Rightarrow x-y=2\)

Đề bài sai, C không có giá trị nhỏ nhất

Nếu \(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}=\dfrac{1}{2}\) thì có thể tìm được min của C

Bài 1: 

Ta có: \(3x=2y\)

nên \(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}\)

mà x+y=-15

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{x+y}{2+3}=\dfrac{-15}{5}=-3\)

Do đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{2}=-3\\\dfrac{y}{3}=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-6\\y=-9\end{matrix}\right.\)

Vậy: (x,y)=(-6;-9)

Bài 2: 

a) Ta có: \(\dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{5}\)

mà x+y-z=20

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{5}=\dfrac{x+y-z}{4+3-5}=\dfrac{20}{2}=10\)

Do đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{4}=10\\\dfrac{y}{3}=10\\\dfrac{z}{5}=10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=40\\y=30\\z=50\end{matrix}\right.\)

Vậy: (x,y,z)=(40;30;50)

Bài 2: 

b) Ta có: \(\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{7}\)

nên \(\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{28}\)

mà \(\dfrac{x}{11}=\dfrac{y}{12}\)

nên \(\dfrac{x}{11}=\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{28}\)

hay \(\dfrac{2x}{22}=\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{28}\)

mà 2x-y+z=152

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{2x}{22}=\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{28}=\dfrac{2x-y+z}{22-12+28}=\dfrac{152}{38}=4\)

Do đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{11}=4\\\dfrac{y}{12}=4\\\dfrac{z}{28}=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=44\\y=48\\z=112\end{matrix}\right.\)

Vậy: (x,y,z)=(44;48;112)

Lời giải:

Bạn cần bổ sung điều kiện $x,y,z>0$

\(P=\frac{1}{x.\frac{y^2+z^2}{y^2z^2}}+\frac{1}{y.\frac{z^2+x^2}{z^2x^2}}+\frac{1}{z.\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}}=\frac{1}{x(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})}+\frac{1}{y(\frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2})}+\frac{1}{z(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})}\)

\(=\frac{1}{x(3-\frac{1}{x^2})}+\frac{1}{y(3-\frac{1}{y^2})}+\frac{1}{z(3-\frac{1}{z^2})}=\frac{x}{3x^2-1}+\frac{y}{3y^2-1}+\frac{z}{3z^2-1}\)

Vì $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=3\Rightarrow x^2, y^2, z^2>\frac{1}{3}$

Xét hiệu:

\(\frac{x}{3x^2-1}-\frac{1}{2x^2}=\frac{(x-1)^2(2x+1)}{2x^2(3x^2-1)}\geq 0\) với mọi $x>0$ và $x^2>\frac{1}{3}$

$\Rightarrow \frac{x}{3x^2-1}\geq \frac{1}{2x^2}$

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế ta có:

$P\geq \frac{1}{2}(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})=\frac{3}{2}$

Vậy $P_{\min}=\frac{3}{2}$ khi $x=y=z=1$

Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$\text{VT}(1^2+1^2+1^2)\geq (1+\frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{x+z}+1+\frac{z}{x+y})^2$

$\Leftrightarrow 3\text{VT}\geq (3+\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y})^2$

$ = \left[3+\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{yz+yx}+\frac{z^2}{zy+zx}\right]^2$

$\geq \left[3+\frac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)}\right]^2$

$\geq \left[3+\frac{3(xy+yz+xz)}{2(xy+yz+xz)}\right]^2=\frac{81}{4}$

$\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{27}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z>0$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

VT(12+12+12)≥(1+��+�+1+��+�+1+��+�)2VT(12+12+12)≥(1+y+zx​+1+x+zy​+1+x+yz​)2

⇔3VT≥(3+��+�+��+�+��+�)2⇔3VT≥(3+y+zx​+x+zy​+x+yz​)2

=[3+�2��+��+�2��+��+�2��+��]2=[3+xy+xzx2​+yz+yxy2​+zy+zxz2​]2

≥[3+(�+�+�)22(��+��+��)]2≥[3+2(xy+yz+xz)(x+y+z)2​]2

≥[3+3(��+��+��)2(��+��+��)]2=814≥[3+2(xy+yz+xz)3(xy+yz+xz