Bài 1:

Đặt \(a=\sqrt[7]{\dfrac{3}{5}};b=\sqrt[7]{\dfrac{5}{3}}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=x\\ab=1\end{matrix}\right.\)

Ta có \(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=\left(a+b\right)\left[\left(a+b\right)^2-3ab\right]\)

\(\Rightarrow a^3+b^3=x\left(x^2-3\right)=x^3-3x\)

Ta có \(a^4+b^4=\left(a^2+b^2\right)^2-2\left(ab\right)^2=\left[\left(a+b\right)^2-2ab\right]^2-2\left(ab\right)^2\)

\(\Rightarrow a^4+b^4=\left(x^2-2\right)^2-2=x^4-4x^2+2\)

\(\Rightarrow\left(a^3+b^3\right)\left(a^4+b^4\right)=\left(x^3-3x\right)\left(x^4-4x^2+2\right)\\ =x^7-3x^5-4x^5+12x^3+2x^3-6x\\ =x^7-7x^5+14x^3-6x\)

Lại có \(\left(a^4+b^4\right)\left(a^3+b^3\right)=a^7+b^7+\left(ab\right)^3\left(a+b\right)=\dfrac{3}{5}+\dfrac{5}{3}+x=\dfrac{34}{15}+x\)

\(\Rightarrow x^7-7x^5+14x^3-6x=\dfrac{34}{15}+x\\ \Rightarrow15x^7-105x^5+210x^3-105x-34=0\left(1\right)\)

Vậy (1) nhận \(x=\sqrt[7]{\dfrac{3}{5}}+\sqrt[7]{\dfrac{5}{3}}\) làm nghiệm

Bài 2 đa thức bậc 2 chia đa thức bậc 2 dư đa thức bậc 1 ??

Áp định lí Bezu (Bài 2)

Đặt \(a=\sqrt[7]{\frac{2}{5}}\Rightarrow x=a+\frac{1}{a}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=a^2+\frac{1}{a^2}+2\\x^3=a^3+\frac{1}{a^3}+3x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-2=a^2+\frac{1}{a^2}\\x^3-3x=a^3+\frac{1}{a^3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^4-4x^2+4=a^4+\frac{1}{a^4}+2\\x^3-3x=a^3+\frac{1}{a^3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^4-4x^2+2=a^4+\frac{1}{a^4}\\x^3-3x=a^3+\frac{1}{a^3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x^4-4x^2+2\right)\left(x^3-3x\right)=\left(a^4+\frac{1}{a^4}\right)\left(a^3+\frac{1}{a^3}\right)\)

\(\Leftrightarrow x^7-7x^5+14x^3-6x=a^7+\frac{1}{a^7}+a+\frac{1}{a}\)

\(\Leftrightarrow x^7-7x^5+14x^3-6x=\frac{2}{5}+\frac{5}{2}+x\)

\(\Leftrightarrow x^7-7x^5+14x^3-7x-\frac{29}{10}=0\)

\(\Leftrightarrow10x^7-70x^5+140x^3-70x-29=0\)

Đây là 1 trong những pt có hệ số nguyên cần tìm

Xét f(x) là hằng số thì \(f\left(x\right)\equiv0\).

Xét f(x) khác hằng.

Ta có \(a^2=\sqrt{\dfrac{3}{4}}+\sqrt{\dfrac{4}{3}}+2\Rightarrow a^2-2=\sqrt{\dfrac{3}{4}}+\sqrt{\dfrac{4}{3}}\)

\(\Rightarrow\left(a^2-2\right)^2=\dfrac{3}{4}+\dfrac{4}{3}+2=\dfrac{49}{12}\Rightarrow a^4-4a^2-\dfrac{1}{12}=0 \).

Bằng cách đồng nhất hệ số, dễ dàng chứng minh được đa thức \(P\left(x\right)=x^4-4x^2-\dfrac{1}{12}\) bất khả quy trên \(\mathbb{Q}[x]\).

Do đó ta có P(x) là đa thức tối tiểu của a, tức mọi đa thức hệ số hữu tỉ khác nhận a là nghiệm đều chia hết cho P(x).

Vì f(x) là đa thức hệ số nguyên nên \(f\left(x\right)\) chia hết cho \(12P\left(x\right)=12x^4-48x^2-1\).

Vậy \(f\left(x\right)=K\left(x\right)\left(12x^4-48x^2-1\right)\), với \(K\in\mathbb Z[x]\) bất kì.

1) 

a) \(\sqrt{2x-4}\) có nghĩa khi:

\(2x-4\ge0\)

\(\Leftrightarrow2x\ge4\)

\(\Leftrightarrow x\ge\dfrac{4}{2}\)

\(\Leftrightarrow x\ge2\)

b) \(\sqrt{\dfrac{-7}{4-x}}\) có nghĩa khi 

\(\dfrac{-7}{4-x}\ge0\) mà \(-7< 0\)

\(\Rightarrow4-x\le0\)

\(\Leftrightarrow x\ge4\)

2) 

a) \(A=\sqrt{9+4\sqrt{5}}-\sqrt{9-4\sqrt{5}}\)

\(A=\sqrt{\left(\sqrt{5}\right)^2+2\cdot2\sqrt{5}+2^2}-\sqrt{\left(\sqrt{5}\right)^2-2\cdot2\cdot\sqrt{5}+2^2}\)

\(A=\sqrt{\left(\sqrt{5}+2\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{5}-2\right)^2}\)

\(A=\left|\sqrt{5}+2\right|-\left|\sqrt{5}-2\right|\)

\(A=\sqrt{5}+2-\sqrt{5}+2\)

\(A=4\)

\(B=\left(\dfrac{\sqrt{14}-\sqrt{7}}{1-\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{15}-5}{1-\sqrt{3}}\right):\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{7}}\)

\(B=\left(-\dfrac{\sqrt{14}-\sqrt{7}}{\sqrt{2}-1}-\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}-1}\right):\dfrac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}\)

\(B=\left[-\dfrac{\sqrt{7}\left(\sqrt{2}-1\right)}{\sqrt{2}-1}-\dfrac{\sqrt{5}\left(\sqrt{3}-1\right)}{\sqrt{3}-1}\right]\cdot\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\)

\(B=\left(-\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\cdot\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\)

\(B=-\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\)

\(B=-\left(7-5\right)\)

\(B=-2\)