a)M=a(b+c-a)2 +b(c+a-b)2 +c(a+b-c)2+(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
b)N=a(m-a)2 +b(m-b)2 +c(m-c)2 -abc với 2m=a+b+c
pt đa thức thành nhân tử
a) M=a(b+c-a)^2 + b(c+a-b)^2 + c(a+b-c)^2 + (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
b)N= a(m-a)^2 +b(m-b)^2 + c(m-c)^2 - abc. Với 2m=a+b+c
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách xét giá trị riêng: N = a(m-a)^2 + b(m-b)^2 + c(m-c)^2 - abc với 2m = a+b+c
Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A=2m(n-p)+(p-n)(m+q) với m=18,3 ; n=24,6 ; p=10,6 ; q=-31,7
b) B=(a-b)(b+c)+b(b-a) với a=0,68 ; b=0,26 ; c=1,5
c) C=a(b-c)+2(c-b) với a=2 ; b=1,007 ; c=-0,006
a) A=2m(n-p)-(n-p)(m+p)
=(2m-m-p)(n-q)
=(m-p)(n-q)
thay m=18,3; n=24,6; p=10,6; q=-31,7 vào biểu thức trên ta có
A=(18,3-10,6)(24,6+31,7)
=7,7.56,3
=433,51
b) B=(a-b)(b+c)+b(b-a)
=(a-b)(b+c)-b(a-b)
=(a-b)(b+c-b)
=(a-b)c
thay a=0,68;b=0,26;c=1,5 vào biểu thức ta có
B=(2-1,007)(-0,006)
=0.993.(-0,006)
=-0,005958
a/ Cho abc khác 0 và a+b+c=1/a+1/b+1/c. C/m b(a^2-bc)(1-ac)=a(1-bc)(b^2-ac)
b/ Cho abc khác 0 và (a+b+c)2 = a2+b2+c2. C/m 1/a3 +1/b3 +1/c3 =
3/abc
Cập nhật: a/ Cho abc khác 0 và a+b+c=1/a+1/b+1/c. C/m b(a^2-bc)(1-ac)=a(1-bc)(b^2-ac)
b/ Cho abc khác 0 và (a+b+c)2 = a2+b2+c2. C/m 1/a^3 +1/b^3 +1/c^3 =
3/abc
Cho a,bc là độ dài các cạnh của tam giác
a,C/m (-a+b+c)a2-(-a+b+c)(b-c)2>=0
b, C/m (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)<=abc
c,4a2b2-(a2+b2-c2)2>0
d,Giả sử (1+b/a)(1+c/b)(1+a/c)=8
C/m a=b=c
Các bạn làm giúp mình ba bài này nha
Bài 1. Chứng minh rằng
A) ( a - b ) + ( c - d )- ( a + c ) = - (b + d)
B) ( a - b ) - ( c- d) + ( b + c) = a + d
C) a (b-c) -b ( a-c) = c ( b-a)
D) b (c-a) + a( b - c ) =c(b-a)
E) -c (-a +b) + b ( c-a) = a (c-b)
G) a ( c - b) - b ( -a - c) = c( a + b)
Bài 2. Tìm số nguyên n biết:
A) (2n + 9 ) M(n - 1)
B) (5 - n) M(n - 2)
C) (10- 3n) M(n - 1)
D) (n2 - n - 5) M( n - 1)
E) (2n 2 + 5n + 5) M ( n - 2)
G) ( n2 - 5) M ( n + 1)
Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức A, C, E
A= (x-2)2+3
C=x2 + (y-3)2-1
E=(3x-3)2 + 2.|y+1|-1
Bài 1:
a) Ta có: (a-b)+(c-d)-(a+c)
=a-b+c-d-a-c
=-b-d(1)
Ta lại có: -(b+d)=-b-d(2)
Từ (1) và (2) suy ra (a-b)+(c-d)-(a+c)=-(b+d)
b) Ta có: (a-b)-(c-d)+(b+c)
=a-b-c+d+b+c
=a+d(đpcm)
c) Ta có: a(b-c)-b(a-c)
=ab-ac-ab+cb
=cb-ca
=c(b-a)(đpcm)
d) Ta có: b(c-a)+a(b-c)
=bc-ba+ab-ac
=bc-ac
=c(b-a)(đpcm)
e) Ta có: -c(-a+b)+b(c-a)
=ca-cb+bc-ba
=ca-ba
=a(c-b)(đpcm)
g) Ta có: a(c-b)-b(-a-c)
=ac-ab+ba+bc
=ac+bc
=c(a+b)(đpcm)
Giúp mình giải vài bài sau đây nha
Thanks mọi người nhìu
1. C/m: \(a+\dfrac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}>=3\)
(a > b > 0)
2. Cho abc khác 0. C/m: \(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}>=\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{b}\)
3. Cho a, b, c > 0 và abc=1.
C/m: \(\dfrac{b+c}{\sqrt{a}}+\dfrac{c+a}{\sqrt{b}}+\dfrac{a+b}{\sqrt{c}}>=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)
4. Cho tam giác ABC có cạnh AB=c, BC=a, AC=b.
C/m: \(\dfrac{a^2}{b+c-a}+\dfrac{b^2}{c+a-b}+\dfrac{c^2}{a+b-c}>=a+b+c\)
Từng sau em hạn chế đăng nhiều bài cùng một lúc như thế này nhé.
Bài 1:
Ta có: \(a+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}=(a-b)+\frac{b+1}{2}+\frac{b+1}{2}+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}-1\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm ta có:
\((a-b)+\frac{b+1}{2}+\frac{b+1}{2}+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}\geq 4\sqrt[4]{\frac{4(a-b)(b+1)^2}{4(a-b)(b+1)^2}}=4\)
\(\Rightarrow a+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}=(a-b)+\frac{b+1}{2}+\frac{b+1}{2}+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}-1\geq 4-1\)
\(\Leftrightarrow a+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}\geq 3\)
Ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \(a-b=\frac{b+1}{2}=\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}\)
\(\Leftrightarrow a=2; b=1\)
Bài 2:
Đặt \(\left(\frac{a}{b}, \frac{b}{c}, \frac{c}{a}\right)\mapsto (x,y,z)\Rightarrow xyz=1\)
BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(x^2+y^2+z^2\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\geq \frac{xy+yz+xz}{xyz}=xy+yz+xz(*)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(x^2+y^2\geq 2\sqrt{x^2y^2}=2xy\)
\(y^2+z^2\geq 2\sqrt{y^2z^2}=2yz\)
\(z^2+x^2\geq 2\sqrt{z^2x^2}=2zx\)
Cộng theo vế: \(\Rightarrow 2(x^2+y^2+z^2)\geq 2(xy+yz+xz)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz\)
Do đó (*) đúng, ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c\)
Bài 3:
Ta có: \(\text{VT}=(\frac{b}{\sqrt{a}}+\frac{c}{\sqrt{b}}+\frac{a}{\sqrt{c}})+(\frac{c}{\sqrt{a}}+\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}})\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((\frac{b}{\sqrt{a}}+\frac{c}{\sqrt{b}}+\frac{a}{\sqrt{c}})(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq (\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{a})^2\)
\(\frac{b}{\sqrt{a}}+\frac{c}{\sqrt{b}}+\frac{a}{\sqrt{c}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}(1)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{c}{\sqrt{a}}+\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{\sqrt{abc}}}=3(2)\) do $abc=1$
Từ \((1); (2)\Rightarrow \text{VT}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Bài 4:
Vì $a,b,c$ là ba cạnh tam giác nên \(b+c-a, c+a-b, a+b-c>0\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a^2}{b+c-a}+(b+c-a)\geq 2\sqrt{a^2}=2a\)
\(\frac{b^2}{c+a-b}+(c+a-b)\geq 2\sqrt{b^2}=2b\)
\(\frac{c^2}{a+b-c}+(a+b-c)\geq 2\sqrt{c^2}=2c\)
Cộng theo vế và rút gọn:
\(\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}+a+b+c\geq 2(a+b+c)\)
\(\Leftrightarrow \frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\geq a+b+c\)
Ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)
1. Cho a,b,c > 0 thõa mãn abc = 1. CM: \(\frac{a}{a+b^4+c^4}+\frac{b}{b+c^4+a^4}+\frac{c}{c+a^4+b^4}\le1\)
2. CHo 1 < = a,b,c < = 3. thõa mãn a + b + c = 3. CM: \(a^2+b^2+c^2\le14\)
1.
Ta có: \(a^4+b^4\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge ab\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{a}{a+bc\left(b^2+c^2\right)}+\frac{b}{b+ca\left(c^2+a^2\right)}+\frac{c}{c+ab\left(a^2+b^2\right)}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{a^2}{a^2+abc\left(b^2+c^2\right)}+\frac{b^2}{b^2+abc\left(a^2+c^2\right)}+\frac{c^2}{c^2+abc\left(a^2+b^2\right)}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
(4 điểm) Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$, đường cao $A H(H \in B C)$.
a) Biết $A B=12 \mathrm{~cm}, B C=20 \mathrm{~cm}$, Tính $A C, A H$ và $\widehat{A B C}$ ( làm tròn đến độ);
b) Kẻ $H M$ vuông góc với $A B$ tại $M, H N$ vuông góc với $A C$ tại $N$. Chứng minh: $A N . A C=A C^2-H C^2$
c) Chứng minh: $A H=M N$ và $A M \cdot M B+A N \cdot N C=A H^2$;
d) Chứng minh: $\tan ^3 C=\dfrac{B M}{C N}$.
a/ AC = 16
\(\cos ABC=\dfrac{12}{20}\)
AH = 9,6
b/ Xét tam giác HAC ta có
góc AHC = 90 độ ( AH vuông góc BC giả thiết)
HN vuông góc AN tại N ( gt)
AH2 = AN x AC ( hệ thức lượng trong tam giác vuông) (1)
Mặt khác AH2 = AC2 - HC 2 ( Pitago) (2)
từ (1 ) và (2) ta có AN x AC = AC2 - HC2
a, ADĐL py-ta- go cho tam giác ABC vuông tại A, ta có
BC^2=AB^2+AC^2
20^2=12^2+ AC^2
AC^2 = 20^2 -12^2 =16^2
=> AC=16 cm
Xét tam giác ABC vuông tại A đường cao AH
Ta có: AB.AC= AH.BC ( hệ thức đg cao và các cạnh góc vuông)
=> AH=AB.AC/ BC =12.16/20=9,6
Ta có : sin ABC = AC/BC=16/20=4/5=> góc ABC sấp xỉ bằng 53°
Vậy AC= 16cm,AH =9,6 ; góc ABC sấp xỉ bằng 53°
b, Xét tam giác AHC đg cao HN có
AN.AC= AH^2 (hệ thức giữa đg cao và các cạnh góc vuông) AC^2 =AH^2+HC^2(ĐL pytago)
=> AN.AC= AC^2-HC^2
c, Ta có góc MAN= góc ANH=góc AMH =90°
=> ANHM là hcn => AH=MN
Xét tg AHB ,th AHC và tg MHN có
AM.MB=MH^2
AN.NC= HN^2
MN^2 = HN^2+HM^2
=> AM.MB+AN.NC= HN^2+HM^2=MN^2=AH^2