Bài 1: 

a) Ta có: \(\Delta=\left(2m-1\right)^2-4\cdot m\cdot\left(m+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\Delta=4m^2-4m+1-4m^2-8m\)

\(\Leftrightarrow\Delta=-12m+1\)

Để phương trình có nghiệm kép thì \(\Delta=0\)

\(\Leftrightarrow-12m+1=0\)

\(\Leftrightarrow-12m=-1\)

hay \(m=\dfrac{1}{12}\)

b) Ta có: \(\Delta=\left(4m+3\right)^2-4\cdot2\cdot\left(2m^2-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\Delta=16m^2+24m+9-16m^2+8\)

\(\Leftrightarrow\Delta=24m+17\)

Để phương trình có nghiệm kép thì \(\Delta=0\)

\(\Leftrightarrow24m+17=0\)

\(\Leftrightarrow24m=-17\)

hay \(m=-\dfrac{17}{24}\)

A) delta=(4m-2)^2-4×4m^2

=16m^2-8m+4-16m^2

=-8m+4

để pt có hai nghiệm pb thì -8m+4>0

Hay m<1/2

B để ptvn thì -8m+4<0

hay m>1/2

a) Thay m=-2 vào phương trình, ta được:

\(x^2+4x+3=0\)

a=1; b=4; c=3

Vì a-b+c=0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\(x_1=-1;x_2=\dfrac{-c}{a}=-3\)

\(x^2-2mx-4m+1=0\left(1\right)\)

\(x^2+\left(3m+1\right)x+2m+1=0\left(2\right)\)

Gọi x₀ là nghiệm chung của hai phương trình trên. Do đó ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_0^2-2mx_0-4m+1=0\left(3\right)\\x_0^2+\left(3m+1\right)x_0+2m+1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(3m+1\right)x_0+2m+1-\left(-2mx_0-4m+1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(5m+1\right)x_0+6m=0\)

\(\Rightarrow m\left(5x_0+6\right)+x_0=0\)

\(\Rightarrow m=\dfrac{-x_0}{5x_0+6}\) \(\left(x_0\ne\dfrac{-6}{5}\right)\)

Thay vào (3) ta được:

\(x_0^2-2.\dfrac{-x_0}{5x_0+6}.x_0-4.\dfrac{-x_0}{5x_0+6}+1=0\)

\(\Rightarrow x_0^2+\dfrac{2x_0^2}{5x_0+6}+\dfrac{4x_0}{5x_0+6}+1=0\)

\(\Leftrightarrow x_0^2\left(5x_0+6\right)+2x_0^2+4x_0+5x_0+6=0\)

\(\Leftrightarrow5x_0^3+8x_0^2+9x_0+6=0\)

\(\Leftrightarrow5x_0^3+5x_0^2+3x_0^2+3x_0+6x_0+6=0\)

\(\Leftrightarrow5x_0^2\left(x_0+1\right)+3x_0\left(x_0+1\right)+6\left(x_0+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_0+1\right)\left(5x_0^2+3x_0+6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x_0=-1\)

\(\Rightarrow m=\dfrac{-x_0}{5x_0+6}=\dfrac{-\left(-1\right)}{5.\left(-1\right)+6}=\dfrac{1}{6}\)

Xét (1) : Để pt có nghiệm khi 

\(\Delta'=m^2-\left(-4m+1\right)=m^2+4m-1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le-2-\sqrt{5}\\x\ge-2+\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

(2) : Để pt có nghiệm khi \(\Delta=\left(3m+1\right)^2-4\left(2m+1\right)=9m^2+6m+1-8m-4=9m^2-2m-3\ge0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le\dfrac{1-2\sqrt{7}}{9}\\x\ge\dfrac{1+2\sqrt{7}}{9}\end{matrix}\right.\)

Để 2 pt có nghiệm chung khi \(\left[{}\begin{matrix}x\le-2-\sqrt{5}\\x\ge\dfrac{1+2\sqrt{7}}{9}\end{matrix}\right.\)

Để phương trình x^2 - 2m^2x - 4m - 1 = 0 có nghiệm nguyên, ta cần tìm giá trị của m sao cho delta (đại diện cho biểu thức bên trong căn bậc hai trong công thức nghiệm) là một số chính phương.

Công thức tính delta là: delta = b^2 - 4ac

Áp dụng vào phương trình đã cho, ta có:
a = 1, b = -2m^2, c = -4m - 1

delta = (-2m^2)^2 - 4(1)(-4m - 1)
= 4m^4 + 16m + 4

Để delta là một số chính phương, ta cần tìm các giá trị nguyên dương của m để đạt được điều kiện này. Ta có thể thử từng giá trị nguyên dương của m và kiểm tra xem delta có là số chính phương hay không.

Ví dụ, với m = 1, ta có:
delta = 4(1)^4 + 16(1) + 4
= 4 + 16 + 4
= 24

24 không phải là số chính phương.

Tiếp tục thử một số giá trị nguyên dương khác cho m, ta có:

Qua việc thử nghiệm, ta không tìm được giá trị nguyên dương của m để delta là một số chính phương. Do đó, không có giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

2x^2  -(4m+3)x+2m^2-1=0

 a= 2

b = -(4m+3)

 c= 2m^2-1

Ta có: ∆=b^2-4ac

              = 〖(4m+3)〗^2-4.2.(2m^2-1)

              = 16m^2+24m+9-16m^2+8   

               = 24m +17

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Vậy để pt có 2 nghiệm phân biệt thì m > (-17)/24

https://www.youtube.com/watch?v=toNMfaR7_Ns

https://www.youtube.com/watch?v=toNMfaR7_Ns

\(\left(2m-1\right)x-4m+3=0\)

Thay \(x=\dfrac{1}{2}\) vào pt trên :

\(\left(2m-1\right).\dfrac{1}{2}-4m+3=0\)

\(\Leftrightarrow m-\dfrac{1}{2}-4m+3=0\)

\(\Leftrightarrow-3m+\dfrac{5}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow-3m=-\dfrac{5}{2}\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{5}{6}\)

Vậy \(m=\dfrac{5}{6}\)