Với x dương, ta có đánh giá:

\(\dfrac{x}{1+x^2}\le\dfrac{36x+3}{50}\)

Thật vậy, BĐT tương đương:

\(\left(x^2+1\right)\left(36x+3\right)\ge50x\)

\(\Leftrightarrow36x^3+3x^2-14x+3\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x-1\right)^2\left(4x+3\right)\ge0\) (luôn đúng)

Áp dụng:

\(\dfrac{10a}{1+a^2}+\dfrac{10b}{1+b^2}+\dfrac{10c}{1+c^2}\le10.\dfrac{36\left(a+b+c\right)+9}{50}=9\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(a^2+b^2+1)(1+1+c^2)\geq (a+b+c)^2$

$\Rightarrow \frac{1}{a^2+b^2+1}\leq \frac{c^2+2}{(a+b+c)^2}$

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:

$\text{VT}\leq \frac{a^2+b^2+c^2+6}{(a+b+c)^2}=\frac{a^2+b^2+c^2+6}{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)}\leq \frac{a^2+b^2+c^2+6}{a^2+b^2+c^2+2.3}=1$

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Đầu tiên chứng minh:

\(a^3+b^3+c^3\ge ba^2+cb^2+ac^2\)

Ta có:

\(3\left(a^3+b^3+c^3\right)=\left(a^3+a^3+b^3\right)+\left(b^3+b^3+c^3\right)+\left(c^3+c^3+a^3\right)\)

\(\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge ba^2+cb^2+ac^2\)

Quay lại bài toán ta có:

\(\frac{a^2}{1+b-a}+\frac{b^2}{1+c-b}+\frac{c^2}{1+a-c}\)

\(=\frac{a^4}{a^2+a^2b-a^3}+\frac{b^4}{b^2+b^2c-b^3}+\frac{c^4}{c^2+c^2a-c^3}\)

\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)-\left(a^3+b^3+c^3\right)}\)

\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a^3+b^3+c^3\right)}\)

\(=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2}=a^2+b^2+c^2=1\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 

\(\frac{a^2}{1+b-a}+a^2\left(1+b-a\right)\ge2a^2\)

\(\frac{b^2}{1+c-b}+b^2\left(1+c-b\right)\ge2b^2\)

\(\frac{c^2}{1+a-c}+c^2\left(1+a-c\right)\ge2c^2\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT+a^2b+b^2c+c^2a-a^3-b^3-c^3\ge1\)

Cần chứng minh \(a^3+b^3+c^3\ge a^2b+b^2c+c^2a\)

Tiếp tục xài AM-GM \(a^3+a^3+b^3\ge3\sqrt[3]{a^6b^3}=3a^2b\)

TƯơng tự rồi cộng theo vế ta có ĐPCM

Xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

jhjvjg

Áp dụng BĐT cô si với hai số không âm, Ta có: 

\(\left(a+b+c\right)^2=1\ge4a\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\)

Mà \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\forall b,c\ge0\)

\(\Rightarrow b+c\ge16abc\)

Dấu "=" xảy ra khi: 

\(\hept{\begin{cases}a+b+c=1\\b=c\\a=b+c\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=c=\frac{1}{4}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge6\)

Áp dụng BĐT Cô si với 2 số dương ta có: 

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2,\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2,\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge6\)(đúng) 

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)(do a+b+c=1)

Ta có : \(a^2+\frac{1}{9}\ge\frac{2}{3}a\)

Suy ra 

\(VT\le\Sigma\left(\frac{a}{\left(a^2+1\right)}\right)\le\Sigma\frac{a}{\frac{2}{3}a+\frac{8}{9}}=\Sigma\frac{9a}{6a+8}=\frac{9}{2}-\Sigma\frac{6}{4+3a}\le\frac{9}{2}-\frac{54}{12+3\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{10}\)

Đẳng thức xảy ra <=> \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Cách khác nhá.

Lời giải

Ta sẽ c/m:\(\frac{a}{a^2+1}\le\frac{18}{25}a+\frac{3}{50}\)

Thật vậy,ta có: BĐT \(\Leftrightarrow\frac{a}{a^2+1}-\frac{18}{25}a-\frac{3}{50}\le0\)

Thật vậy:\(VT=\frac{-\left(4a+3\right)\left(3a-1\right)^2}{50\left(a^2+1\right)}\le0\forall x\)

Vậy \(\frac{a}{a^2+1}\le\frac{18}{25}a+\frac{3}{50}\).Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế:

\(VT\le\frac{18}{25}\left(a+b+c\right)+\frac{9}{50}=\frac{9}{10}^{\left(đpcm\right)}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Không mất tỉnh tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c\Rightarrow a\ge\frac{1}{3}\ge c\). Xét hai trường hợp sau:

+) TH 1: \(c\ge\frac{-3}{4}\)ta có 

\(\frac{9}{10}-\text{Σ}_{cyc}\left(\frac{a}{a^2+1}\right)=\text{Σ}_{cyc}\left(\frac{18a}{25}+\frac{5}{30}-\frac{a}{a^2+1}\right)\)\(=\text{Σ}_{cyc}\frac{\left(3a-1\right)^2\left(4a+3\right)}{50\left(a^2+1\right)}\ge0\)

+) TH 2: \(c\le\frac{-3}{4}\)Áp dụng bđt AM - GM, ta có:

       \(\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}\le1\)

Khi đó nếu \(\frac{c}{c^2+1}\le-\frac{9}{10}\Leftrightarrow-5-2\sqrt{6}\le c\le-\frac{3}{4}\)ta có ngay điều phải chứng minh

Xét trường hợp \(-5-2\sqrt{6}\ge c\)khi đó ta có \(3+\sqrt{6}\le a\Rightarrow\frac{a}{a^2+1}\le\frac{1}{5}\).Từ đây suy ra:

\(\text{Σ}_{cyc}\left(\frac{a}{a^2+1}\right)\le\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}\le\frac{1}{5}+\frac{1}{2}=\frac{7}{10}< \frac{9}{10}\)

Vậy bđt được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Bài này đã có ở đây:

Cho abc=1CMR\(\dfrac{a+3}{\left(a+1\right)^2}+\dfrac{b+3}{\left(b+1\right)^2}+\dfrac{c+3}{\left(c+1\right)^2}\ge3\) - Hoc24