ta có:

\(a^5+b^5\ge a^3b^2+a^2b^3\)

\(\Leftrightarrow a^5+b^5-a^3b^2-a^2b^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a^2-b^2\right)+b^3\left(a^2-b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)

Xét thấy:

\(a+b\ge0\)

\(\left(a^2-b^2\right)\ge0\) ( với mọi a;b thuộc R)

\(a^2-ab+b^2\ge0\) ( với mọi a;b thuộc R)

Vậy nên ...................

Xét \(a^5+b^5-a^3b^2-a^2b^3\)

\(=a^3\left(a+b\right)\left(a-b\right)-b^3\left(b-c\right)\left(a+b\right)\)

\(=\left(a+b\right)\left(a^4-a^3b-b^4-ab^3\right)=\left(a+b\right)a^4+\left(a^4+2a^3b+b^2a^2-2a^2a^2-2ab^3-a^3b+a^2a^2-2ab^3+b^4\right)\)\(=\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)(đpcm)

P/S cchs hơi chậm nhưng dừng chửi nhá

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

\(a^3b^2-a^2b^3+b^3c^2-c^3b^2+c^3a^2-c^2a^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2\left(a-b\right)+b^2c^2\left(b-c\right)+c^2a^2\left(c-a\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2\left(a-b\right)+b^2c^2\left(b-c\right)+c^2a^2\left(c-b+b-a\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2\left(a-b\right)+c^2a^2\left(b-a\right)+b^2c^2\left(b-c\right)+c^2a^2\left(c-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2b^2-c^2a^2\right)\left(a-b\right)+\left(b^2c^2-c^2a^2\right)\left(b-c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(b^2-c^2\right)\left(a-b\right)+c^2\left(b^2-a^2\right)\left(b-c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left[a^2\left(b+c\right)-c^2\left(a+b\right)\right]\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2b+a^2c-c^2a-c^2b\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left[a\left(ab-c^2\right)+c\left(a^2-bc\right)\right]\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\) luôn đúng do \(a\ge b\ge c\ge0\)

cảm ơn bạn nhá, bạn trả lời giúp mình mấy câu hỏi về BĐT còn lại của mik đc ko? cảm ơn bn nhiều!

\(a^3+a^3+b^3\ge3\sqrt[3]{a^6b^3}=3a^2b\)

\(b^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{b^6c^3}=3b^2c\)

\(c^3+c^3+a^3\ge3\sqrt[3]{c^6a^3}=3c^2a\)

Cộng vế theo vế có ngay điều phải chứng minh

\(a^5+a^5+a^5+a^5+b^5\ge5\sqrt[5]{a^{20}b^5}=5a^4b\)

\(b^5+b^5+b^5+b^5+c^5\ge5\sqrt[5]{b^{20}c^5}=5b^4c\)

\(c^5+c^5+c^5+c^5+a^5\ge5\sqrt[5]{c^{20}a^5}=5c^4a\)

Cộng lại ta được:\(5\left(a^5+b^5+c^5\right)\ge5\left(a^4b+b^4c+c^4a\right)\)

=> đpcm

hình như đây k phải toán lớp 1

đây làm gì phải toán lớp 1 mik lớp 5 còn chẳng biết nè

Biến đổi tương đương:

\(a^5+b^5\ge a^3b^2+a^2b^3\Leftrightarrow a^5-a^3b^2+b^5-a^2b^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a^2-b^2\right)-b^3\left(a^2-b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)

Dễ thấy: \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\a^2+ab+b^2\ge0\end{cases}\forall}a;b\); kết hợp với \(a+b\ge0\)(giả thiết)

Từ đó suy ra: \(\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)(luôn đúng \(\forall a;b\) t/m \(a+b\ge0\))

=> BĐT ban đầu đúng => \(a^5+b^5\ge a^3b^2+a^2b^3\)(đpcm)

Dấu "=" có <=> a=b=0.

2, - ( a + b + c ) - ( b - c -a ) + ( 1 - a - b ) - ( c - 3b )

= -a - b -c - b + c + a + 1 - a - b - c + 3b

= (a-a) - (b+b+b) + (c-c) + (-a) + (-c) + 3b

= 0 - 3b + 0 + (-a) + (-c) + 3b

= (3b-3b) + (-a) + (-c)

= 0 + (-a) + (-c)

= (-a) + (-c)

3, ( b - c - 6 ) - ( 7 - a + b ) + c

= b - c - 6 - 7 + a - b + c

= (b-b) + (c-c) - (6+7) + a

= 0 + 0 + 13 + a

= 13 + a

6, 2a - { a - b [ a - b - ( a + b + c ) + 2b ] - c - b }

= 2a - { a - b [ a - b - a - b - c  + 2b ] - c - b }

= 2a - { a - b [ ( a - a ) - (b+b) - c + 2b ] - c - b }

= 2a - { a - b [ 0 - 0 - 2b - c + 2b ] - c - b }

= 2a - { a- b [ (2b - 2b) - c ] - c - b }

= 2a - { a - b [ 0 - c ] - c - b }

= 2a - { a - b.(-c) - c - b}

= 2a - a - b.(-c) - c - b

= 1a - (-b).c - c - b

= a - (-b).c - c.1 - b

= a - [(-b) - 1].c - b

ko chắc lắm

Bài 1: Đặt \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=k\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=ck\\b=dk\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{a}{a+c}=\dfrac{ck}{ck+c}=\dfrac{ck}{c\left(k+1\right)}=\dfrac{k}{k+1}\)

\(\dfrac{b}{b+d}=\dfrac{dk}{dk+d}=\dfrac{k}{k+1}\)

Do đó: \(\dfrac{a}{a+c}=\dfrac{b}{b+d}\)

Bạn có thể tham khảo: https://hoc24.vn/hoi-dap/question/236870.html
Thông tin đến bạn!

\(\dfrac{ab}{a+3b+2c}=\dfrac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)+2b}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{ab}{2b}\right)\)

\(=\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{a}{2}\right)\)

Tương tự:

\(\dfrac{bc}{b+3c+2a}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{bc}{a+c}+\dfrac{b}{2}\right)\)

\(\dfrac{ac}{c+3a+2b}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{ac}{b+c}+\dfrac{ac}{a+b}+\dfrac{c}{2}\right)\)

Cộng vế:

\(P\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{bc+ac}{a+b}+\dfrac{bc+ab}{a+c}+\dfrac{ab+ac}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{2}\right)\)

\(P\le\dfrac{1}{9}.\left(a+b+c+\dfrac{a+b+c}{2}\right)=\dfrac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)