Chứng minh bất đẳng thức sau:
\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge\dfrac{9}{2}\left(a,b,c>0\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức cosi chứng minh
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) với a,b \(\ge\)0
\(\left(a+b\right).\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge\) 4 với a,b > 0
\(\left(a+b+c\right).\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\) 9 với a,b,c > 0
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
CM CÁC BẤT ĐẲNG THỨC SAU
A) \(\left(A+B\right)\left(\dfrac{1}{A}+\dfrac{1}{B}\right)\ge4\)
B) \(\left(A+B+C\right)\left(\dfrac{1}{A}+\dfrac{1}{B}+\dfrac{1}{C}\right)\ge9\)
C) \(\dfrac{1}{A}+\dfrac{1}{B}+\dfrac{1}{C}\ge\dfrac{9}{A+B+C}\)
c) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\dfrac{1}{A}+\dfrac{1}{B}+\dfrac{1}{C}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{A+B+C}=\dfrac{9}{A+B+C}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi\(\dfrac{1}{A}=\dfrac{1}{B}=\dfrac{1}{C}\)
2. Cho a>0; b>0; c>0
Chứng minh bất đẳng thức (a+b+c)\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)\(\ge\) 9
Áp dụng bđt cosi cho 3 số dương a,b,c>0
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}.\dfrac{1}{c}}\)
Suy ra\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}.\dfrac{1}{c}}=9\sqrt[3]{\dfrac{abc}{abc}}=9\)
Vậy \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\)
CM CÁC BẤT ĐẲNG THỨC SAU
A) \(\left(A+B\right)\left(\dfrac{1}{A}+\dfrac{1}{B}\right)\ge4\)
B) \(\left(A+B+C\right)\left(\dfrac{1}{A}+\dfrac{1}{B}+\dfrac{1}{C}\right)\ge9\)
C) \(\dfrac{1}{A}+\dfrac{1}{B}+\dfrac{1}{C}\ge\dfrac{9}{A+B+C}\)
a,
(a+ b)(\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)) =1+\(\frac{a}{b}\)+\(\frac{b}{a}\)+1 =2+\(\frac{a}{b}\)+\(\frac{b}{a}\)>=4 {vì\(\frac{a}{b}\)+\(\frac{b}{a}\)>=2 theo bất đẳng thức cô-si }.dau"="xay ra khi va chi khi a=b
b,
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=1+a/b+a/c+1+b/a+b/c+1+c/a+c/b
=3+(\(\frac{a}{b}\)+\(\frac{b}{a}\))+(\(\frac{b}{c}\)+\(\frac{c}{b}\))+(\(\frac{a}{c}\)+c/a)>=3+2+2+2=9
đầu"="xảy ra khi và chỉ khi a=b=c {>= có nghĩa là lớn hơn hoặc bằng}
Chứng minh các bất đẳng thức :
a / \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}>=2;\forall a,b>0\)
b / \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}>=3;\forall a,b,c>0\)
c / \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)+\left(c+a\right)>=8abc;\forall a,b,c>=0\)
d / \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)>=9,\forall a,b,c>0\)
e / \(\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)+\left(1+\dfrac{c}{a}\right)>=8,\forall a,b,c>0\)
f / \(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)>=4,\forall a,b,>0\)
HELP ME !!!!!!
a) Áp dụng BĐT AM - GM:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\) >= 2\(\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}\) =2
Dấu '=' xảy ra <=> a=b=1
c) Áp dụng BĐT AM- GM a+b>= 2\(\sqrt{ab}\)
\(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\) >= 8\(\sqrt{ab.bc.ca}\) = 8abc
Dấu '=' xảy ra <=> a=b=c
Chứng minh bất đẳng thức cô-si với 3 số a,b,c không âm: \(\dfrac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\). Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c.
Áp dụng chứng minh bất đẳng thức: \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\)
Bạn tham khảo cách chứng minh tại đây :
Câu hỏi của Nguyễn Huy Thắng - Toán lớp 10 | Học trực tuyến
Áp dụng : Theo BĐT \(AM-GM\) ta có :
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\)
Nhân vế theo vế ta được :
\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}=3.3.1=9\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c\)
Chứng minh rằng: \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left[\left(\dfrac{1}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{1}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{1}{\left(c-a\right)^2}\right)\right]\ge\dfrac{9}{2}\)
Để chứng minh bất đẳng thức (a^2 + b^2 + c^2)[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2] ≥ 9/2, ta sẽ sử dụng phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chứng minh định lý hình học.
Giả sử a, b, c là các số thực và (a, b, c) không phải là (0, 0, 0). Ta có thể viết lại bất đẳng thức trên dưới dạng:
(a^2 + b^2 + c^2)[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2] - 9/2 ≥ 0
Mở rộng và rút gọn biểu thức ta có:
2a^4 + 2b^4 + 2c^4 + 4a^2b^2 + 4b^2c^2 + 4c^2a^2 - 2a^3b - 2ab^3 - 2b^3c - 2bc^3 - 2c^3a - 2ca^3 - 9/2 ≥ 0
Đặt x = a^2, y = b^2, z = c^2, ta có:
2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 4xy + 4yz + 4zx - 2x^(3/2)√y - 2x√y^(3/2) - 2y^(3/2)√z - 2yz^(3/2) - 2z^(3/2)√x - 2zx^(3/2) - 9/2 ≥ 0
Đặt t = √x, u = √y, v = √z, ta có:
2t^4 + 2u^4 + 2v^4 + 4t^2u^2 + 4u^2v^2 + 4v^2t^2 - 2t^3u - 2tu^3 - 2u^3v - 2uv^3 - 2v^3t - 2vt^3 - 9/2 ≥ 0
Nhận thấy rằng biểu thức trên có thể viết dưới dạng tổng của các bình phương:
(t^2 + u^2 + v^2 - tu - uv - vt)^2 + (t^2 - u^2)^2 + (u^2 - v^2)^2 + (v^2 - t^2)^2 ≥ 0
Vì mọi số thực bình phương đều không âm, nên bất đẳng thức trên luôn đúng. Từ đó, ta có chứng minh rằng (a^2 + b^2 + c^2)[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2] ≥ 9/2.
chứng minh các bất đẳng thức
a/ \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\)
c/ \(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^2\)
b/ \(\dfrac{a^4+b^4}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^4\)
Lời giải:
Sử dụng pp biến đổi tương đương:
a) \(\frac{a^2+b^2}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2}{2}\geq \frac{(a+b)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow 4(a^2+b^2)\geq 2(a+b)^2\Leftrightarrow 4(a^2+b^2)\geq 2(a^2+2ab+b^2)\)
\(\Leftrightarrow 2(a^2+b^2)\geq 4ab\Leftrightarrow 2(a^2+b^2-2ab)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow 2(a-b)^2\geq 0\) (luôn đúng)
Do đó ta có đpcm. Dấu bằng xẩy ra khi $a=b$
c)
\(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\geq \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\) \(\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+c^2}{3}\geq \frac{(a+b+c)^2}{9}\)
\(\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2\)
\(\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)\)
\(\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ac)\)
\(\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0\) (luôn đúng)
Do đó ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$
b) \(\frac{a^4+b^4}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^4\)
Áp dụng 2 lần BĐT phần a: \(\frac{a^4+b^4}{2}\geq \left(\frac{a^2+b^2}{2}\right)^2(1)\)
Và: \(\frac{a^2+b^2}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\Rightarrow \left(\frac{a^2+b^2}{2}\right)^2\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^4(2)\)
Từ \((1); (2)\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^4\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b\)
Cho a, b, c là số thực dươn. Chứng minh bất đẳng thức:
\(\dfrac{1}{a\left(a^2+8ab\right)}+\dfrac{1}{b\left(b^2+8ac\right)}+\dfrac{1}{c\left(c^2+8ab\right)}\le\dfrac{1}{3abc}\)