Lời giải:

Ta thấy:

$\Delta=(m+3)^2-8m=m^2-2m+9=(m-1)^2+8>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$

Do đó pt luôn có nghiệm với mọi $m$

Với $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của pt. Áp dụng định lý Viet:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{m+3}{2}\\ x_1x_2=\frac{m}{2}\end{matrix}\right.\)

\(A=|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\)

\(=\sqrt{\frac{(m+3)^2}{4}-2m}=\frac{1}{2}\sqrt{m^2-2m+9}\)

\(=\frac{1}{2}\sqrt{(m-1)^2+8}\geq \frac{1}{2}\sqrt{8}=\sqrt{2}\)

Vậy $A_{\min}=\sqrt{2}$. Giá trị này đạt tại $m=1$

Đề là \(x^2-\left(m-1\right)x+4m-1=0\) đúng ko em nhỉ?

Ta có:

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(4m-10\right)=m^2-6m+11=\left(m-3\right)^2+2>0;\forall m\)

\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

  do đó: phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

\(\Delta'=\left[-\left(m-3\right)\right]^2-\left(2m-8\right)=m^2-6m+9-2m+8=0\\ =m^2-8m+17\\ =\left(m^2-8m+16\right)+1\\ =\left(m-4\right)^2+1\\ \left(m-4\right)^2\ge0\forall x\\ =>\left(m-4\right)^2+1>1>0\forall x\)

=> phương trình có hai nghiệm phân biệt 

\(x^2-2\left(m-3\right)x+2m-8=0\left(1\right)\)

\(\Delta'=\left(m-3\right)^2-2m+8=m^2-8m+9+8=\left(m-4\right)^2+1>0\forall m\)

⇒ Phương trình hai nghiệm phân biệt

Theo viét : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-3\right)\\x_1x_2=2m-8\end{matrix}\right.\)

Có : \(x_1^2+x_2^2=52\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=52\)

\(\Leftrightarrow4\left(m-3\right)^2-2\left(2m-8\right)=52\)

\(\Leftrightarrow4m^2-24m+36-4m+16=52\)

\(\Leftrightarrow4m^2-28m=0\Leftrightarrow4m\left(m-7\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=7\end{matrix}\right.\)

Vậy...

\(2x-3=2\left(x-3\right)\\ \Leftrightarrow2x-3=2x-6\\ \Leftrightarrow-3=-6\left(voli\right)\)

\(\Rightarrow\) phương trình vô nghiệm

\(x^2-4x+6=0 \)

Ta có

\(x^2-4x+6=x^2-2.2.x+2^2+2=\left(x-2\right)^2+2\ge2\forall x\)

\(=>x^2-4x+6>0\)

\(\Rightarrow\) phương trình vô no 

\(2x-1=2\left(x-3\right)\\ < =>2x-1=2x-6\\ < =>2x-2x=-6+1\\ < =>0x=-5\left(voli\right)\)

\(x^2-4x+6=0\\ < =>x^2-4x+4+2=0\\ < =>\left(x-2\right)^2+2=0\left(voli\right)\)

a, Thay \(m=-3\)vào phương trình ta có :

\(x^2+x\left(m-1\right)-\left(2m+3\right)=0\)

\(< =>x^2-4x+3=0\)

Ta có : \(\Delta=\left(-4\right)^2-4.3=16-12=4;\sqrt{\Delta}=\sqrt{4}=2\)

\(x_1=\frac{4+2}{2}=3\)\(;\)\(x_2=\frac{4-2}{2}=1\)

nên tập nghiệm của phương trình trên là \(\left\{1;3\right\}\)

b, Ta có : \(\Delta=\left(m-1\right)^2+4\left(2m+3\right)\ge0\)

\(=m^2-2m+1+8m+12\ge0\)

\(=m\left(m-2\right)+8\left(m-2\right)+29\ge0\)

\(=\left(m+8\right)\left(m-2\right)+29\ge0\)

\(=m^2+6m+13\ge0\)( đến đây thì chịu r :) )

c, theo vi ét ta có \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)

\(< =>x_1+x_2=\frac{-m+1}{2}=7\)

\(< =>-m+1=14\)

\(< =>-m=13< =>m=-13\)

Bài 1:

a: \(\text{Δ}=\left(-2m\right)^2-4\left(2m-1\right)=4m^2-8m+4=\left(2m-2\right)^2>=0\)

Do đó: Phương trình luôn có nghiệm

b: Theo đề, ta có: \(\left(2m\right)^2=2m-1+7=2m+6\)

\(\Leftrightarrow4m^2-2m-6=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-6m+4m-6=0\)

=>(4m-6)(m+1)=0

=>m=-1 hoặc m=3/2

Giả sử đường tròn đi qua điểm cố định có tọa độ \(\left(x_0;y_0\right)\)

\(\Rightarrow\) Với mọi m ta luôn có:

\(x_0^2+y_0^2+\left(m+2\right)x_0-\left(m+4\right)y_0+m+1=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(x_0-y_0+1\right)+\left(x_0^2+y_0^2+2x_0-4y_0+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0-y_0+1=0\\x_0^2+y_0^2+2x_0-4y_0+1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x_0^2+\left(x_0+1\right)^2+2x_0-4\left(x_0+1\right)+1=0\)

\(\Rightarrow2x_0^2-2=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=1\Rightarrow y_0=2\\x_0=-1\Rightarrow y_0=0\end{matrix}\right.\)

Vậy đường tròn luôn đi qua 2 điểm cố định có tọa độ \(\left(1;2\right);\left(-1;0\right)\) với mọi m