ΔMAB vuông tại M

=>\(\widehat{MAB}+\widehat{MBA}=90^0\)

\(\widehat{BAM}+\widehat{BAC}+\widehat{CAN}=180^0\)

=>\(\widehat{BAM}+\widehat{CAN}=180^0-90^0=90^0\)

mà \(\widehat{BAM}+\widehat{MBA}=90^0\)

nên \(\widehat{CAN}=\widehat{MBA}\)

Xét ΔMBA vuông tại M và ΔNAC vuông tại N có

BA=AC

\(\widehat{MBA}=\widehat{NAC}\)

Do đó: ΔMBA=ΔNAC

=>MB=NA

Để A là trung điểm của MN thì AM=AN

mà MB=NA

nên AM=NA=MB

=>MA=MB

=>\(\widehat{MAB}=\widehat{MBA}=45^0\)

=>xy tạo với đường thẳng AB một góc 45 độ thì A là trung điểm của MN

Bạn có thể tham khảo tại đây: Chứng minh BM^2+CN^2 không phụ thuộc vào vị trí của xy biết tam giác ABC vuông cân tại A - Phạm Phú Lộc Nữ

Chúc bn học tốt!

a) Ta có: \(\widehat{BAM}+90^0+\widehat{CAN}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BAM}+\widehat{CAN}=90^0\) (1)

Lại có: \(\widehat{ACN}+\widehat{CAN}=90^0\)(tính chất của tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2), suy ra: \(\widehat{BAM}=\widehat{ACN}\)

Xét \(\Delta BAM\perp M\) và \(\Delta CAN\perp N\), ta có:

BA = AC (gt)

\(\widehat{BAM}=\widehat{ACN}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta BMA=\Delta CNA\) (cạnh huyền - góc nhọn)

b) Vì \(\Delta BMA=\Delta CNA\) (theo câu a)

Nên BM = AN (2 cạnh tương ứng) (3)

và MA = NC ( 2 cạnh tương ứng) (4)

Ta có: MA + AN = MN (5)

Nên thay (3), (4) vào (5) ta được BM + CN = MN (đpcm)

Chúc you học tốt nhé!!!!~~~~

a, ^NAC + ^BAC + ^MAB = 180 (kb)

^BAC = 90

=> ^NAC + ^MAB = 90 

^NAC + ^NCA = 90 

=> ^NCA = ^MAB 

xét tam giác CNA và tam giác AMB có : AB = AC do tam giác ABC vc (gt)

^CNA = ^AMB = 90

=> tam giác CNA = tam giác AMB (ch-gn)

b, tam giác CNA = tam giác AMB (câu a)

=> NA = BM (đn) và CN = AM (đn)

có : NA + MA = MN

=> BM + CN = MN

c, NC = AM (câu b) => NC^2 = AM^2

xét tam giác MB vuông tại M => BM^2 + AM^2 = AB^2 (pytago)

=> BM^2 + NC^2 = AB^2

mà AB không phụ thuộc vào xy

=> BM^2 + CN^2 không phụ thuộc vào xy