Lời giải:

Gọi $Q$ là điểm nằm trên $DC$ sao cho $AD\parallel PQ$

Khi đó: $MN\parallel AD\parallel PQ$ nên $Q\in (MNP)$

$(MNPQ)$ chính là thiết diện của hình chóp cắt bởi $(MNP)$
Giờ ta cần tìm diện tích hình thang $MNPQ$

$SA=SD; DB=SC; AB=CD$ nên $\triangle SAB=\triangle SDC$

Tương ứng ta có $MP=NQ$

$MN=\frac{AD}{2}=\frac{3a}{2}$

$PQ=AD=3a$

$\Rightarrow MNPQ$ là hình thang cân.

Áp dụng định lý cos:

$\cos \widehat{SAB}=\frac{SA^2+AB^2-SB^2}{2SA.AB}=\frac{MA^2+AP^2-MP^2}{2MA.AP}$

$\Leftrightarrow \frac{9a^2+9a^2-27a^2}{2.3a.3a}=\frac{\frac{9}{4}a^2+4a^2-MP^2}{2.\frac{3}{2}a.2a}$

$\Rightarrow MP^2=\frac{37}{4}a^2$

$\Rightarrow h_{MNPQ}=\sqrt{MP^2-(\frac{PQ-MN}{2})^2}=\frac{\sqrt{139}}{4}a$

Diện tích thiết diện:

$S=\frac{MN+PQ}{2}.h=\frac{9\sqrt{139}}{16}a^2$

Do M là trung điểm SD, N là trung điểm SC \(\Rightarrow MN\) là đường trung bình tam giác SCD

\(\Rightarrow MN||CD\) (1)

Tương tự PQ là đường trung bình tam giác SAB \(\Rightarrow PQ||AB\)

\(\Rightarrow MN||PQ\Rightarrow\) 4 điểm M, N, P, Q đồng phẳng

Lại có MQ là đường trung bình tam giác SAD \(\Rightarrow MQ||AD\)

Mà \(AD\in\left(ABCD\right)\Rightarrow MQ||\left(ABCD\right)\) 

Do \(CD\in\left(ABCD\right)\), từ \(\left(1\right)\Rightarrow MN||\left(ABCD\right)\) 

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}MN\in\left(MNPQ\right)\\MQ\in\left(MNPQ\right)\\MN\cap MQ=M\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left(MNPQ\right)||\left(ABCD\right)\)

Gọi O là hình chiếu vuông góc của S lên đáy

Do \(SA=SB=SC=SD\Rightarrow OA=OB=OC=OD\)

\(\Rightarrow ABCD\) là hình vuông

Gọi P là trung điểm SD \(\Rightarrow NP//CD\Rightarrow NP//AB\)

\(\Rightarrow ABNP\) là thiết diện của (ABN) và chóp

\(NP=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{a}{2}\)

\(AP=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến trong tam giác đều cạnh a)

Gọi H là chân đường cao hạ từ P xuống AB, do ABNP là hình thang cân nên:

\(PH=\sqrt{AP^2-\left(\dfrac{AB-NP}{2}\right)^2}=\dfrac{a\sqrt{11}}{4}\)

\(S_{ABNP}=\dfrac{1}{2}.PH.\left(NP+AB\right)=...\)

Nối dài DM cắt BC kéo dài tại E

Theo talet: \(\dfrac{EB}{EC}=\dfrac{BM}{CD}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\) B là trung điểm EC

\(\Rightarrow BN\) là đường trung bình tam giác SEC \(\Rightarrow BN//SE\Rightarrow BN//\left(SMD\right)\)

Ở câu c, K là điểm nào vậy bạn?

Cách xác định I; J:

Trong mp (SAC), nối AN cắt SO tại I

Trong mp (ABCD), nối CM cắt BD tại R

Trong mp (SMC), nối MN cắt SR tại J

Xét tam giác SAB ta có: MN là đường trung bình suy ra MN // AB.

Tương tự ta có: NP // BC, PQ // CD, MQ // AD.

Mà ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AD// CD, suy ra MN // PQ, MQ // NP.

Như vậy, MNPQ là hình bình hành.