Câu 1: 

a) Để hàm số \(y=\left(3m+5\right)\cdot x^2\) nghịch biến với mọi x>0 thì \(3m+5< 0\)

\(\Leftrightarrow3m< -5\)

hay \(m< -\dfrac{5}{3}\)

Vậy: Để hàm số \(y=\left(3m+5\right)\cdot x^2\) nghịch biến với mọi x>0 thì \(m< -\dfrac{5}{3}\)

b) Để hàm số \(y=\left(3m+5\right)\cdot x^2\) đồng biến với mọi x>0 thì

3m+5>0

\(\Leftrightarrow3m>-5\)

hay \(m>-\dfrac{5}{3}\)

Vậy: Để hàm số \(y=\left(3m+5\right)\cdot x^2\) đồng biến với mọi x>0 thì \(m>-\dfrac{5}{3}\)

2.

Để hàm nghịch biến với x>0 \(\Leftrightarrow\sqrt{3k+4}-3< 0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3k+4}< 3\Leftrightarrow3k+4< 9\)

\(\Rightarrow-\dfrac{4}{3}\le k< \dfrac{5}{3}\)

Để hàm đồng biến khi x>0

\(\Leftrightarrow\sqrt{3k+4}-3>0\Leftrightarrow\sqrt{3k+4}>3\)

\(\Leftrightarrow3k+4>9\Rightarrow k>\dfrac{5}{3}\)

Tham khảo:

Đỉnh S có tọa độ: \({x_S} = \dfrac{{ - b}}{{2a}} = \dfrac{{ - 2}}{{2.1}} =  - 1;\,{y_S} = {\left( { - 1} \right)^2} + 2.( - 1) + 3 = 2.\)

Hay \(S\left( { - 1;2} \right).\)

Vì hàm số bậc hai có \(a = 1 > 0\) nên ta có bảng biến thiên sau:

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(2\).

Đáp án C

Lời giải trên là sai. Cách làm lời giải này chỉ đúng đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn .

Để giải bài toán này, ta lập bảng biến thiên của hàm số y = 2 x 4 − 4 x 2 + 3  trên R

* Bước 1: Tập xác định D = ℝ . Đạo hàm  y ' = 8 x 3 − 8 x   .

* Bước 2: Cho   y ' = 0 tìm x = 0 ; x = − 1 ; x = 1 .

* Bước 3: Ta có bảng biến thiên sau:

Quan sát bảng biến thiên, ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1 và hàm số không có giá trị lớn nhất. Vậy lời giải trên sai từ bước 3.

Ta có: \(y-\frac{29}{3}=2x^2+\frac{5}{x+1}-\frac{29}{3}\)

\(=\frac{6x^2\left(x+1\right)+15-29\left(x+1\right)}{3\left(x+1\right)}\)

\(=\frac{6x^3+6x^2+15-29x-29}{3\left(x+1\right)}\)

\(=\frac{6x^3+6x^2-29x-14}{3\left(x+1\right)}\)

\(=\frac{\left(6x^3-12x^2\right)+\left(18x^2-36x\right)+\left(7x-14\right)}{3\left(x+1\right)}\)

\(=\frac{\left(x-2\right)\left(6x^2+18x+7\right)}{3\left(x+1\right)}\ge0\left(\forall x\right)\) vì \(x+1\ge3>0\)

\(\Rightarrow y\ge\frac{29}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=2\)

Vậy \(min_y=\frac{29}{3}\Leftrightarrow x=2\)

Dễ thấy: \(f\left(x\right)=\left(x+m-1\right)^2-m^2+5m-6\ge-m^2+5m-6\)

Giá trị nhỏ nhất của f(x) đạt lớn nhất tức \(-m^2+5m-6\) đạt lớn nhất

Mà \(g\left(m\right)=-m^2+5m-6=-\left(m-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\le\dfrac{1}{4}\)

g(m) đạt lớn nhất khi m=5/2

m cần tìm là 5/2

\(sin\left(\dfrac{\pi}{3}+x\right)\in\left[-1;1\right]\)

\(\Rightarrow y=\dfrac{3}{2}+sin\left(\dfrac{\pi}{3}+x\right)\in\left[\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{2}\right]\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_{min}=\dfrac{1}{2}\\y_{max}=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

Đáp án C