Chứng minh: x 3 + y 3 + z 3 - 3 x y z = 1 / 2 . x + y + z x - y 2 + y - z 2 + z - x 2
Từ đó chứng tỏ: Với ba số a, b, c không âm thì x 3 + y 3 + z 3 3 ≥ x y z
(Bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm)
Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số a, b, c bằng nhau.
Những câu hỏi liên quan
a, Cho x + y = 1 và xy = -1. Chứng minh rằng : x^3 + y^3 = 4
b, Cho x - y = 1 và xy = 6. Chứng minh rằng : x^3 - y^3 = 19
a, Ta có : \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)
\(=\left(x+y\right)\left(\left(x+y\right)^2-2xy-xy\right)\)
\(=1\left(1^2-3\left(-1\right)\right)=1\left(1^2+3\right)=4\)
b, Ta có : \(x^3-y^3=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(\left(x-y\right)^2+3xy\right)\)
\(=1\left(1+3.9\right)=19\)
Đúng 0
Bình luận (0)
chứng minh rằng:(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(x+z)
Có: (x+y+z)3 = (x+y)3 + z3 + 3z(x+y)(x+y+z)
= x3 + y3 + z3 + 3xy(x+y) + 3z(x+y)(x+y+z)
= x3 + y3 + z3 + 3(x+y)[xy+z(x+y+z)]
= x3 + y3 + z3 + 3(x+y)(xy+xz+yz+z2)
= x3 + y3 + z3 + 3(x+y)[x(y+z)+z(z+y)]
= x3 + y3 + z3 + 3(x+y)(y+z)(x+z) (đpcm)
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh:
x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy (x+y)
\(x^3+y^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3-3x^2y-3xy^2\)
\(=\left(x+y\right)^3-3x^2y-3xy^2\)
\(=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\)
chứng minh rằng nếu x+2/x-2 = y+3/y-3 thì x/2=y/3
\(\dfrac{x+2}{x-2}=\dfrac{y+3}{y-3}\Rightarrow\left(x+2\right)\left(y-3\right)=\left(x-2\right)\left(y+3\right)\\ \Rightarrow xy-3x+2y-6=xy+3x-2y-6\\ \Rightarrow6x=4y\\ \Rightarrow3x=2y\\ \Rightarrow\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}\)
Đúng 1
Bình luận (0)
Chứng Minh Đẳng Thức : (x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)
\(\left(x+y\right)^3=x^3+y^3+3x^2y+3xy^2=x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
\(x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)=\left(x^3+x^2y\right)+\left(y^3+y^2x\right)+2xy\left(x+y\right)\)
\(=x^2\left(x+y\right)+y^2\left(x+y\right)+2xy\left(x+y\right)\)
\(=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2+2xy\right)=\left(x+y\right)\left(x+y\right)^2=\left(x+y\right)^3\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh :
(x+y+z)^3-(x+y-z)^3-(x-y+z)^3-(-x+y+z)^3=24xyz
chứng minh (x+y)^3-(x-y)^3=2y(y^2+3x^2)
(x+y)^3-(x-y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3-x^3+3x^2y-3xy^2+y^3
=6x^2y+2y^3
=2y(y^2+3x^2)
Đúng 1
Bình luận (0)
Chứng minh x^3+y^3=(x+y).[(x-y)^2+xy]
Chứng minh:
4( x^3 +y^3) 》(x+y)^3
#Cách khác với BĐT
\(4\left(x^3+y^3\right)\ge\left(x+y\right)^3\)
\(\Leftrightarrow4\left(x^3+y^3\right)\ge x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^3+y^3\right)\ge3\left(x^2y+xy^2\right)\) (1)
Cần chứng minh (1) đúng.
Với \(x,y>0\) , áp dụng BĐT AM-GM:
\(x^3+x^3+y^3\ge3x^2y\)
\(x^3+y^3+y^3\ge3xy^2\)
Cộng vế theo vế: \(3\left(x^3+y^3\right)\ge3\left(x^2y+xy^2\right)\)
Vậy ta có đpcm.
Lời giải:
Bổ sung điều kiện $x,y>0$
Xét hiệu:
\(4(x^3+y^3)-(x+y)^3=4(x^3+y^3)-(x^3+y^3+3x^2y+3xy^2)\)
\(=3(x^3+y^3-x^2y-xy^2)\)
\(=3[x^2(x-y)-y^2(x-y)]=3(x-y)(x^2-y^2)=3(x-y)^2(x+y)\)
Với mọi $x,y>0$ thì $(x-y)^2\geq 0; x+y>0$
Do đó $4(x^3+y^3)-(x+y)^3=3(x-y)^2(x+y)\geq 0$
$\Rightarrow 4(x^3+y^3)\geq (x+y)^3$ (đpcm)
Cách 3: Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel:
\(VT=4\left(x^3+y^3\right)=4\left(\frac{x^4}{x}+\frac{y^4}{y}\right)\)
\(\ge4.\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{x+y}\ge4.\frac{\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\right]^2}{x+y}=\left(x+y\right)^3\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y\)
Cho x+2/x-2 = y+3/y-3
Chứng minh x/2 = y/3