#Cách khác với BĐT
\(4\left(x^3+y^3\right)\ge\left(x+y\right)^3\)
\(\Leftrightarrow4\left(x^3+y^3\right)\ge x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^3+y^3\right)\ge3\left(x^2y+xy^2\right)\) (1)
Cần chứng minh (1) đúng.
Với \(x,y>0\) , áp dụng BĐT AM-GM:
\(x^3+x^3+y^3\ge3x^2y\)
\(x^3+y^3+y^3\ge3xy^2\)
Cộng vế theo vế: \(3\left(x^3+y^3\right)\ge3\left(x^2y+xy^2\right)\)
Vậy ta có đpcm.
Lời giải:
Bổ sung điều kiện $x,y>0$
Xét hiệu:
\(4(x^3+y^3)-(x+y)^3=4(x^3+y^3)-(x^3+y^3+3x^2y+3xy^2)\)
\(=3(x^3+y^3-x^2y-xy^2)\)
\(=3[x^2(x-y)-y^2(x-y)]=3(x-y)(x^2-y^2)=3(x-y)^2(x+y)\)
Với mọi $x,y>0$ thì $(x-y)^2\geq 0; x+y>0$
Do đó $4(x^3+y^3)-(x+y)^3=3(x-y)^2(x+y)\geq 0$
$\Rightarrow 4(x^3+y^3)\geq (x+y)^3$ (đpcm)
Cách 3: Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel:
\(VT=4\left(x^3+y^3\right)=4\left(\frac{x^4}{x}+\frac{y^4}{y}\right)\)
\(\ge4.\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{x+y}\ge4.\frac{\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\right]^2}{x+y}=\left(x+y\right)^3\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y\)
