a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} {x^2};\)            

Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì thỏa mãn \(\lim {x_n} =  - 3.\)

Ta có \(\lim x_n^2 = {\left( { - 3} \right)^2} = 9\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} {x^2} = 9.\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} - 25}}{{x - 5}}.\)

Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì thỏa mãn \(\lim {x_n} = 5.\)

Ta có \(\lim \frac{{{x_n}^2 - 25}}{{{x_n} - 5}} = \lim \frac{{\left( {{x_n} - 5} \right)\left( {{x_n} + 5} \right)}}{{{x_n} - 5}} = \lim \left( {{x_n} + 5} \right) = \lim {x_n} + 5 = 5 + 5 = 10\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} - 25}}{{x - 5}} = 10.\)

a) Hàm số f(x) = xác định trên R\{} và ta có x = 4 ∈ (;+∞).

Giả sử (x_n) là dãy số bất kì và x_n ∈ (;+∞); x_n ≠ 4 và x_n → 4 khi n → +∞.

Ta có lim f(x_n) = lim = = .

Vậy = .

b) Hàm số f(x) = xác định trên R.

Giả sử (x_n) là dãy số bất kì và x_n → +∞ khi n → +∞.

Ta có lim f(x_n) = lim = lim = -5.

Vậy = -5.

Lấy dãy (xn) bất kì; xn ∈ D; lim xn = 4.

Kiểm tra lại đề bài, giới hạn này không tồn tại

sao có GP lại ko có huy hiệu hỏi thôi

Thấy : \(\sqrt{x^2+x+3}-x^2+1=\sqrt{x^2+x+3}-\left(x^2-1\right)=\dfrac{x^2+x+3-\left(x^2-1\right)^2}{\sqrt{x^2+x+3}+x^2-1}\)

\(=\dfrac{x^2+x+3-x^4+2x^2-1}{...}=\dfrac{-x^4+3x^2+x+2}{...}\)

\(=\dfrac{-\left(x-2\right)\left(x^3+2x^2+x+1\right)}{...}\)

\(\dfrac{\sqrt{x^2+x+3}-x^2+1}{x^2-4}=\dfrac{-\left(x^3+2x^2+x+1\right)}{\left(x+2\right)\left[\sqrt{x^2+x+3}+x^2-1\right]}\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{\sqrt{x^2+x+3}-x^2+1}{x^2-4}=\dfrac{-\left(2^3+2.2^2+2+1\right)}{4.\left[\sqrt{2^2+2+3}+2^2-1\right]}=-\dfrac{19}{24}\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{\sqrt{x^2+x+3}-x^2+1}{x^2-4}=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{\dfrac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+3}}-2x}{2x}=\dfrac{\dfrac{2.2+1}{2\sqrt{4+2+3}}-4}{4}=-\dfrac{19}{24}\)

lim x → + ∞ x 3   +   1 x 2   +   1   =   + ∞