Thay k=1 và HPT ta có: 

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=3.1-2\\2x-y=5\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\2x-y=5\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}2x+2y=2\\2x-y=5\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}2x+2y=2\\3y=-3\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy HPT có nghiệm (x;y) = (2;-1)

b) tìm k để hệ phương trình có nghiệm ( x ; y) sao cho \(x^2-y-\dfrac{5}{y}+1=4\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=3k-2\\2x-y=5\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}y=3k-2-x\\2x-\left(3k-2-x\right)=5\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}y=3k-2-x\\2x-3k+2+x=5\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}y=3k-2-x\\3x=3k+3\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}y=3k-2-x\\x=k+1\end{matrix}\right.\)

Ta có \(\text{ x= k+1 }=>y=2k-3\) (*)

Thay vào biểu thức đã cho ở đề bài ta có :

 \(x^2-y-\dfrac{5}{y}+1=4\)

⇔\(\left(k+1\right)^2-2k+3-\dfrac{5}{2k-3}+1=4\)

⇔\(k^2+2k+1-2k+3-\dfrac{5}{2k-3}+1=4\)

Sau một hồi bấm máy tính Casio thì ra k=2

Vậy k=2 thì Thỏa mãn yêu cầu đề bài

Lần sau bạn dùng Latex đánh đề bài cho dễ nhìn nha, mình sợ chép lại đề bài bị sai @@

Mình mạn phép sửa lại phương trình $2$ của bạn là $mx+3y=1$ nhé.

ĐK: $m\neq 0$

a) Khi $m=2,$ hệ phương trình là:

\(\left\{{}\begin{matrix}-4x+y=5\\2x+3y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4x+y=5\\4x+6y=2\end{matrix}\right.\Rightarrow7y=7\Leftrightarrow y=1\Rightarrow x=-1\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}-2mx+y=5\\mx+3y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2mx+y=5\\2mx+6y=2\end{matrix}\right.\Rightarrow7y=7\Leftrightarrow y=1\Rightarrow x=-\dfrac{2}{m}\)

c) Do ta luôn có $y=1$ là số dương nên chỉ cần chọn $m$ sao cho:

\(x=-\dfrac{2}{m}>0\Leftrightarrow m< 0\)

d) \(x^2+y^2=1\Leftrightarrow\left(-\dfrac{2}{m}\right)^2+1^2=1\Leftrightarrow\dfrac{4}{m^2}=0\) (vô lý)

Vậy không tồn tại $m$ sao cho $x^2+y^2=1.$

Đặt \(x+\dfrac{1}{x}=a;y+\dfrac{1}{y}=b\left(\left|a\right|\ge2;\left|b\right|\ge2\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}=5\\x^3+y^3+\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}=15m-25\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}=5\\\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)+\left(y^3+\dfrac{1}{y^3}\right)=15m-25\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}=5\\\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3-3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^3-3\left(y+\dfrac{1}{y}\right)=15m-25\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}=5\\\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^3-3\left(x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}\right)=15m-25\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}=5\\\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^3=15m-10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=5\\a^3+b^3=15m-10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=5\\\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)=15m-10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=5\\125-15ab=15m-10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=5\\ab=9-m\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a,b\) là nghiệm của phương trình \(t^2-5t+9-m=0\left(1\right)\)

a, Nếu \(m=3\), phương trình \(\left(1\right)\) trở thành

\(t^2-5t+6=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=2\\t=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=3\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{1}{x}=2\\y+\dfrac{1}{y}=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2=0\\y^2-3y+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{1}{x}=3\\y+\dfrac{1}{y}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}\\y=1\end{matrix}\right.\)

Vậy ...

b, \(\left(1\right)\Leftrightarrow t=\dfrac{5\pm\sqrt{4m-11}}{2}\left(m\ge\dfrac{11}{4}\right)\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{5\pm\sqrt{4m-11}}{2}\\b=\dfrac{5\mp\sqrt{4m-11}}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{5\pm\sqrt{4m-11}}{2}\\y+\dfrac{1}{y}=\dfrac{5\mp\sqrt{4m-11}}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x^2-\left(5\pm\sqrt{4m-11}\right)+2=0\left(2\right)\\2y^2-\left(5\mp\sqrt{4m-11}\right)+2=0\end{matrix}\right.\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi phương trình \(\left(2\right)\) có nghiệm dương

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=\left(5\pm\sqrt{4m-11}\right)^2-16\ge0\\\dfrac{5\pm\sqrt{4m-11}}{2}>0\\1>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow...\)

lỗi hình

lx hìnk còi

b: Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\frac{1}{m}<>\frac{1}{-1}\)

=>m<>-1

c: Để hệ có nghiệm duy nhất thì m<>-1

\(\begin{cases}x+y=2\\ mx-y=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x+y+mx-y=2+1=3\\ x+y=2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x\left(m+1\right)=3\\ x+y=2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\frac{3}{m+1}\\ y=2-x=2-\frac{3}{m+1}=\frac{2m+2-3}{m+1}=\frac{2m-1}{m+1}\end{cases}\)

x-3y=5

=>\(\frac{3}{m+1}-\frac{3\left(2m-1\right)}{m+1}=5\)

=>3-3(2m-1)=5(m+1)

=>3-6m+3=5m+5

=>-6m+6=5m+5

=>-11m=-1

=>\(m=\frac{1}{11}\) (nhận)

d: xy<0

=>\(\frac{3}{m+1}\cdot\frac{2m-1}{m+1}<0\)

=>3(2m-1)<0

=>2m-1<0

=>\(m<\frac12\)

Kết hợp với m<>-1, ta được: \(\begin{cases}m<\frac12\\ m<>-1\end{cases}\)

e: x+2y>4

=>\(\frac{3}{m+1}+\frac{2\left(2m-1\right)}{m+1}>4\)

=>3+2(2m-1)>4(m+1)

=>3+4m-2>4m+4

=>1>4(sai)

=>m∈∅

f: Để x,y nguyên thì 3⋮m+1 và 2m-1⋮m+1

=>3⋮m+1 và 2m+2-3⋮m+1

=>3⋮m+1 và -3⋮m+1

=>3⋮m+1

=>m+1∈{1;-1;3;-3}

=>m∈{0;-2;2;-4}

a: Thay m=-2 vào hệ phương trình, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=-2+1=-1\\-2x+y=3\cdot\left(-2\right)-1=-7\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x-4y=-2\\-2x+y=-7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3y=-9\\x-2y=-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=3\\x=2y-1=2\cdot3-1=5\end{matrix}\right.\)

b: Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{1}{m}\ne\dfrac{m}{1}\)

=>\(m^2\ne1\)

=>\(m\notin\left\{1;-1\right\}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x+my=m+1\\mx+y=3m-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m+1-my\\m\left(m+1-my\right)+y=3m-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m+1-my\\m^2+m-m^2y+y=3m-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m+1-my\\y\left(-m^2+1\right)=3m-1-m^2-m=-m^2+2m-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m+1-my\\y\left(m-1\right)\left(m+1\right)=\left(m-1\right)^2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{m-1}{m+1}\\x=m+1-m\cdot\dfrac{m-1}{m+1}=\left(m+1\right)-\dfrac{m^2-m}{m+1}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{m-1}{m+1}\\x=\dfrac{m^2+2m+1-m^2+m}{m+1}=\dfrac{3m+1}{m+1}\end{matrix}\right.\)

\(x^2-y^2=4\)

=>\(\dfrac{\left(3m+1\right)^2-\left(m-1\right)^2}{\left(m+1\right)^2}=4\)

=>\(\dfrac{9m^2+6m+1-m^2+2m+1}{\left(m+1\right)^2}=4\)

=>\(8m^2+8m+2=4\left(m+1\right)^2\)

=>\(8m^2+8m+2-4m^2-8m-4=0\)

=>\(4m^2-2=0\)

=>\(m^2=\dfrac{1}{2}\)

=>\(m=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)