Cái bạn viết chưa phải đẳng thức. Bạn xem lại đề.

Lời giải:

Ta có:

$x^4+y^4+(x+y)^4=(x^4+y^4+2x^2y^2)-2x^2y^2+[(x+y)^2]^2$

$=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+(x^2+2xy+y^2)^2$
$=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+(x^2+y^2)^2+(2xy)^2+4xy(x^2+y^2)$

$=2(x^2+y^2)^2+2x^2y^2+4xy(x^2+y^2)$

$=2[(x^2+y^2)^2+2xy(x^2+y^2)+(xy)^2]$

$=2(x^2+y^2+xy)^2$

Ta có đpcm.

có : (x-y)² \(\ge0,\forall x,y\)

==>x²-2xy+y² \(\ge\)0 \(\forall x,y\)

==> 2.(x²+y²)\(\ge\)2xy +x²+y² \(\forall x,y\)

==> x²+y² \(\ge\)\(\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}=\dfrac{2^2}{2}=2\) ( do x+y=2) \(\forall x,y\)

lại có (x^2-y²)²\(\ge\)0\(\forall x,y\)

==> x⁴+y⁴-2x²y² \(\ge\)0 \(\forall x,y\)

==> 2.(x⁴+y⁴) \(\ge\)2x²y² + x⁴+y⁴ \(\forall x,y\)

==> x⁴+y⁴ \(\ge\)\(\dfrac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}\ge\dfrac{2^2}{2}=2\)

==> đpcm

dấu ''=,, xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\x-y=0\\x^2-y^2=0\end{matrix}\right.< =>x=y=1}\)

dấu ''=,, xảy ra <=> x=y=1

\(\dfrac{x^2+3x-4}{x-1}=\dfrac{x^2+4x-x-4}{\left(x-1\right)}=\dfrac{\left(x+4\right)\left(x-1\right)}{x-1}=x+4\)

\(=x^2+6x+5+x^3-8-x^3-x^2+2x\)

=8x-3

Lấy hai vế trừ đi cho nhau rồi nếu có kết quả =0 thì hai hằng đẳng thức này bằng nhau

\(\left(x+y\right)\left(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4\right)\)

\(=x^5-x^4y+x^3y^2-x^2y^3+xy^4+x^4y-x^3y^2+x^2y^3-xy^4+y^5\)

\(=\left(x^5+y^5\right)+\left(x^4y-x^4y\right)+\left(x^3y^2-x^3y^2\right)+\left(x^2y^3-x^2y^3\right)+\left(xy^4-xy^4\right)\)

\(=x^5+y^5\)

\(VT=\left(x-y\right)\left(x^3+x^2y+xy^2+y^3\right)\)

\(=x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3-x^3y-x^2y^2-xy^3-y^4\)

\(=x^4-y^4\) ( đpcm )