\(\dfrac{a}{b+c}=\dfrac{b}{a+c}=\dfrac{c}{a+b}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{b+c}+1=\dfrac{b}{a+c}+1=\dfrac{c}{a+b}+1\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+b+c}{b+c}=\dfrac{a+b+c}{a+c}=\dfrac{a+b+c}{a+b}\)

\(\Rightarrow b+c=a+c=b+a\)

\(\Rightarrow a=b=c\)

\(\dfrac{a}{b+c}=\dfrac{b}{a+c}=\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{a}{a+a}=\dfrac{1}{2}\)

Lời giải:

Ta có:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{4c}{4d}=\frac{a+4c}{b+4d}$ (theo TCDTSBN)

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{2a}{2b}=\frac{3c}{3d}=\frac{2a-3c}{2b-3d}$ (theo TCDTSBN)

$\Rightarrow \frac{a+4c}{b+4d}=\frac{2a-3c}{2b-3d}$

$\Rightarrow (a+4c)(2b-3d)=(2a-3c)(b+4d)$ (đpcm)

Ta có:\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c+a+c+b+a}\)

\(=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)

Vậy giá trị của mỗi tỉ số là:\(\frac{1}{2}\)

Ta có: \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{a}{a+b}.\)

\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{b+c+a+c+a+b}=\frac{a+b+c}{2a+2b+2c}=\frac{1}{2}\)

Xét 2 trường hợp: Nếu a+b+c = 0

                    Và Nếu a+b+c = \(\frac{1}{2}\)

Ta có: \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}\),Xét 2 TH sau:

+Nếu a+b+c \(\ne\) 0 thì theo t/c dãy tỉ số=nhau:

\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{\left(a+a\right)+\left(b+b\right)+\left(c+c\right)}=\frac{a+b+c}{2a+2b+2c}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)

+Nếu a+b+c = 0 thì a+b=-c ; b+c=-a;c+a=-b

\(=>\frac{a}{b+c}=\frac{a}{-a}=1;\frac{b}{a+c}=\frac{b}{-b}=-1;\frac{c}{a+b}=\frac{c}{-c}=-1\)

\(=>\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=-1\)

Vậy............

a+b+c=0\(\Rightarrow c=0-a-b\)

Thay vào tỉ số đầu tiên ta được

\(\dfrac{a}{b+c}=\dfrac{a}{b+0-a-b}=\dfrac{a}{-a}=-1\)

Mà \(\dfrac{a}{b+c}=\dfrac{b}{a+c}=\dfrac{c}{a+b}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b+c}=\dfrac{b}{a+c}=\dfrac{c}{a+b}=-1\)

Chúc bạn học tốt

1./ Nếu a + b + c = 0 

\(\Rightarrow a=-\left(b+c\right)\Rightarrow\frac{a}{b+c}=-1\)

=> Giá trị các tỷ số đó = -1.

2./ Nếu a + b + c khác 0 thì:

\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)

Giá trị các tỷ số đó = 1/2

\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{b+a}\)

\(=\frac{a-b-c}{b+c-a-c-b-a}\)

\(=\frac{a-b-c}{-2a}\)

\(=>\frac{a}{b+c}=\frac{a-b-c}{-2a}\)

\(=>\frac{b}{a+c}=\frac{a-b-c}{-2a}\)

\(=>\frac{c}{b+a}=\frac{a-b-c}{-2a}\)

Từ \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ  số bằng nhau ta có 

\(\frac{a}{b+c}=\frac{a+b+c}{b+c+c+a+a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)

Tương tự \(\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{1}{2}\)

Vậy \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{2a+2b+2c}=\frac{1}{2}\)(dãy tỉ số bằng nhau)

\(\Rightarrow2a=b+c\)
\(\Rightarrow2b=c+a\)

\(\Rightarrow2c=a+b\)

ta có hpt:

\(\hept{\begin{cases}2a=b+c\\2b=c+a\\2c=a+b\end{cases}\hept{\begin{cases}b=2a-c\\2b=c+a\\2c=a+b\end{cases}}}\)

thế b ta đc

\(\hept{\begin{cases}4a-2c=c+a\\2c=a+2a-c\end{cases}\hept{\begin{cases}3a-3c=0\\3c=3a=0\end{cases}\Rightarrow}}a=c\)

\(b=2a-c=a\)

\(\Rightarrow a=b=c\)vậy pt vô số nghiệm

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c+a+c+c+a}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)

Vậy \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{1}{2}\)