Để tính giá trị của biểu thức S, chúng ta có thể sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton. Công thức này cho phép chúng ta tính toán các hệ số a0, a1, a2,..., a11 trong biểu thức (1+x+x^2+...+x^10)^11.

Công thức khai triển nhị thức Newton: (a+b)^n = C(n,0)a^n*b^0 + C(n,1)a^(n-1)b^1 + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)a^1b^(n-1) + C(n,n)a^0b^n

Trong đó, C(n,k) là tổ hợp chập k của n (n choose k), được tính bằng công thức C(n,k) = n! / (k!*(n-k)!).

Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton vào biểu thức (1+x+x^2+...+x^10)^11, ta có:

S = C(11,0)*a0 - C(11,1)*a1 + C(11,2)*a2 - C(11,3)*a3 + ... + C(11,10)*a10 - C(11,11)*a11

Bây giờ, để tính giá trị của S, chúng ta cần tính các hệ số a0, a1, a2,..., a11. Để làm điều này, chúng ta có thể sử dụng công thức C(n,k) để tính các hệ số từng phần tử trong biểu thức (1+x+x^2+...+x^10)^11.

Tuy nhiên, để viết bài giải ngắn nhất có thể, ta có thể sử dụng một số tính chất của tổ hợp chập để rút gọn công thức. Chẳng hạn, ta có các quy tắc sau:

Áp dụng các quy tắc trên vào công thức của S, ta có:

S = a0 - 11a1 + 55a2 - 165a3 + ... + 330a10 - a11

Với công thức trên, ta chỉ cần tính 11 hệ số a0, a1, a2,..., a10, a11 và thực hiện các phép tính nhân và cộng trừ để tính giá trị của S.

Xét khai triển

\(\left(x+1\right)^{2n+1}=C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1x+...+C_{2n+1}^{2n}x^{2n}+C_{2n+1}^{2n+1}x^{2n+1}\)

Cho \(x=1\) ta được:

\(2^{2n+1}=C^0_{2n+1}+C_{2n+1}^1+...+C_{2n+1}^{2n}+C_{2n+1}^{2n+1}\)

\(\Leftrightarrow2^{2n+1}=2+C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^2+...+C_{2n+1}^{2n}\)

\(\Leftrightarrow2^{2n+1}-2=C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^2+...+C_{2n+1}^{2n}\)

\(\Leftrightarrow2^{10}-1=2^{2n+1}-2\Rightarrow2^{2n+1}=2^{10}+1\)

Không tồn tại n thỏa mãn yêu cầu bài toán (bạn xem lại đề bài)

a) Để tính \(A_{15}^{10}\) ta ấn liên tiếp các phím

Thì nhận được kết quả là \(1,{08972864.10^{10}}\)

b) Để tính \(C_{10}^6 + C_{10}^7 + C_{11}^8\) thì ta ấn liên tiếp các phím

 Thì ta nhận được kết quả là 495

c) Để tính \(C_5^1C_{20}^2 + C_5^2C_{20}^1\) thì ta ấn liên tiếp các phím

Thì ta được kết quả là 1150

sử dụng ct tổng quát (1+x)ⁿ thay n=10 và x=2 ta có

(1+2)¹⁰=3¹⁰

Điều kiện để phương trình có nghĩa là 

\(\begin{cases}y-1\ge0\\x-1\ge\\x,y\in Z\end{cases}y}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}y\ge1\\x\ge\\x,y\in Z\end{cases}y+1}\)

Từ \(\frac{A_{x-1}^y}{C_{x-1}^y}\)= \(\frac{60}{10}\) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{P_yC_{x-1}^y}{C_{x-1}^y}\) = 6

\(\Leftrightarrow\) \(P_y\) = 6 \(\Leftrightarrow\) y! = 3! \(\Leftrightarrow\) y=3

Thay lại vào phương trình ta có 

\(\frac{A_x^2}{A_{x-1}^3}\) = \(\frac{21}{60}\) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{x!\left(x-4\right)!}{\left(x-2\right)!\left(x-1\right)!}\) = \(\frac{7}{20}\) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{x}{\left(x-3\right)\left(x-2\right)}\) = \(\frac{7}{20}\)

\(\Leftrightarrow\) 20x = 7(x²-5x+6)

\(\Leftrightarrow\) 7x² - 55x + 42 = 0

\(\Leftrightarrow\) \(\left[\begin{array}{nghiempt}x=7\\x=\frac{6}{7}\end{array}\right.\) loại do (x\(\ge\)4, x\(\in\)N)

Gọi \(A=C_{2016}^0+C_{2016}^1+C_{2016}^2+...+C_{2016}^{2016}\)

          \(=2^{2016}\)  (HỆ QUẢ CỦA NHỊ THỨC NIUTON)

\(\Rightarrow\) \(S=2015+\left(A-C_{2016}^0-C_{2016}^1\right)\)

        \(=2015+2^{2016}-1-2016\)

        \(=2^{2016}-2\)

Đề thế này thì không thể hiểu được.

Em sử dụng công cụ soạn thảo toán học để đăng lại đề nhé, nó ở đây:

Mũ thì bấm "^" là được

Còn kí hiêu tổ hợp kiểu \(C_n^k\) thì ở đây:

Sau đó chọn

Hoặc đơn giản hơn thì vào chỗ gõ công thức (biểu tượng tổng sigma nói ở trên), sau đó bấm C, rồi shift _, bấm tiếp mũi tên sang phải ở bàn phím, rồi shift ^, tiếp tục mũi tên sang phâir

S= 2ⁿC⁰_n + 2^n-2 C^n-2_n +2^n-4 C_n^n-4 +...+C_nⁿ