\(A^2=\left(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(1-x+1+x\right)=4\\ \Leftrightarrow A\le2\\ A_{max}=2\Leftrightarrow1-x=1+x\Leftrightarrow x=0\\ A^2=2+2\sqrt{1-x^2}\ge2\\ \Leftrightarrow A\ge\sqrt{2}\\ A_{min}=\sqrt{2}\Leftrightarrow1-x^2=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\sqrt{2}\le A\le2\)

\(B=\dfrac{x-\sqrt[]{x}}{\sqrt[]{x}-\left(x+1\right)}\)

\(B\) xác định \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\\sqrt[]{x}-\left(x+1\right)\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x^2+x+1\ne0,\forall x\in R\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x\ge0\)

\(\Leftrightarrow B=\dfrac{x-\sqrt[]{x}+1-1}{-\left(x-\sqrt[]{x}+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow B=-1+\dfrac{1}{x-\sqrt[]{x}+1}\)

\(\Leftrightarrow B=-1+\dfrac{1}{x-\sqrt[]{x}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}+1}\)

\(\Leftrightarrow B=-1+\dfrac{1}{\left(\sqrt[]{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}\)

mà \(\left(\sqrt[]{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4},\forall x\ge0\)

\(\Rightarrow B=-1+\dfrac{1}{\left(\sqrt[]{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}\le-1+\dfrac{4}{3}=\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow GTLN\left(B\right)=\dfrac{1}{3}\left(tại.x=\dfrac{1}{4}\right)\)

\(A\le\sqrt{\left(3^2+4^2\right)\left(x-1\right)\left(5-x\right)}=10\)

\(A_{max}=10\) khi \(\dfrac{\sqrt{x-1}}{3}=\dfrac{\sqrt{5-x}}{4}\Rightarrow x=\dfrac{61}{25}\)

\(A=3\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\right)+\sqrt{5-x}\ge3\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\right)\ge3\sqrt{x-1+5-x}=6\)

\(A_{min}=6\) khi \(x=5\)

\(P=\sqrt{x}+\sqrt{9-x}+\sqrt{x\left(9-x\right)}\ge\sqrt{x}+\sqrt{9-x}\)

\(\Rightarrow P^2\ge\left(\sqrt{x}+\sqrt{9-x}\right)^2=9+2\sqrt{x\left(9-x\right)}\ge9\)

\(\Rightarrow P\ge3\)

\(P_{\min}=3\) khi x=0 hoặc x=9

\(P=\sqrt{x}+\sqrt{9-x}+\sqrt{x\left(9-x\right)}\le\sqrt{2\left(x+9-x\right)}+\frac12\left(x+9-x\right)=\frac92+3\sqrt2\)

\(P_{max}=\frac92+3\sqrt2\) khi \(x=9-x\Rightarrow x=\frac92\)

\(P = \frac{x}{9 - x} + x \left(\right. 9 - x \left.\right)\)

\(P = \frac{x}{9 - x} + x \left(\right. 9 - x \left.\right)\)

Đạo hàm từng phần:

\(u = x , v = 9 - x \Rightarrow u^{'} = 1 , v^{'} = - 1\)\(\left(\left(\right. \frac{u}{v} \left.\right)\right)^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}} = \frac{1 \cdot \left(\right. 9 - x \left.\right) - x \cdot \left(\right. - 1 \left.\right)}{\left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}} = \frac{9 - x + x}{\left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}} = \frac{9}{\left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}}\)

\(9 - 2 x\)

Vậy đạo hàm của \(P\) là:

\(P^{'} = \frac{9}{\left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}} + 9 - 2 x\)

\(\frac{9}{\left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}} + 9 - 2 x = 0\)

Chuyển vế:

\(\frac{9}{\left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}} = 2 x - 9\)

Lưu ý: Để vế phải \(2 x - 9\) dương (vì vế trái luôn dương), ta có:

\(2 x - 9 > 0 \Rightarrow x > \frac{9}{2} = 4.5\)

Nhân hai vế với \(\left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}\):

\(9 = \left(\right. 2 x - 9 \left.\right) \left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}\)

Đặt \(t = 9 - x\), khi \(x > 4.5 \Rightarrow t = 9 - x < 4.5\).

Thay \(x = 9 - t\):

\(9 = \left(\right. 2 \left(\right. 9 - t \left.\right) - 9 \left.\right) \cdot t^{2} = \left(\right. 18 - 2 t - 9 \left.\right) t^{2} = \left(\right. 9 - 2 t \left.\right) t^{2}\)

Ta có:

\(9 = \left(\right. 9 - 2 t \left.\right) t^{2} = 9 t^{2} - 2 t^{3}\)

Chuyển hết về một phía:

\(9 t^{2} - 2 t^{3} - 9 = 0\)

Hay:

\(- 2 t^{3} + 9 t^{2} - 9 = 0\)

Nhân cả phương trình với -1 để thuận tiện:

\(2 t^{3} - 9 t^{2} + 9 = 0\)

Thử các nghiệm nguyên hoặc hữu tỉ:

\(2 \left(\right. 1 \left.\right)^{3} - 9 \left(\right. 1 \left.\right)^{2} + 9 = 2 - 9 + 9 = 2 \neq 0\)

\(2 \left(\right. 27 \left.\right) - 9 \left(\right. 9 \left.\right) + 9 = 54 - 81 + 9 = - 18 \neq 0\)

\(2 \left(\right. 4.5 \left.\right)^{3} - 9 \left(\right. 4.5 \left.\right)^{2} + 9 = 2 \cdot 91.125 - 9 \cdot 20.25 + 9 = 182.25 - 182.25 + 9 = 9 \neq 0\)

\(2 \left(\right. 8 \left.\right) - 9 \left(\right. 4 \left.\right) + 9 = 16 - 36 + 9 = - 11 \neq 0\)

Không tìm được nghiệm nguyên, dùng phương pháp đồ thị hoặc nghiệm gần đúng.

Ta có hàm:

\(f \left(\right. t \left.\right) = 2 t^{3} - 9 t^{2} + 9\)

Vậy nghiệm nằm trong khoảng \(\left(\right. 4 , 5 \left.\right)\).

Tiếp tục thử \(t = 4.5\):

\(f \left(\right. 4.5 \left.\right) = 2 \cdot 91.125 - 9 \cdot 20.25 + 9 = 182.25 - 182.25 + 9 = 9 > 0\)

Có vẻ trước đó tính sai, ta kiểm tra lại:

\(t = 4.25 \Rightarrow f \left(\right. 4.25 \left.\right) = 2 \cdot \left(\right. 4.25 \left.\right)^{3} - 9 \cdot \left(\right. 4.25 \left.\right)^{2} + 9\)\(\left(\right. 4.25 \left.\right)^{3} = 76.765625 , \left(\right. 4.25 \left.\right)^{2} = 18.0625\)\(f \left(\right. 4.25 \left.\right) = 2 \cdot 76.765625 - 9 \cdot 18.0625 + 9 = 153.53125 - + 9 = - 0.03125\)

Gần bằng 0, nghiệm ở gần \(4.25\).

\(t \approx 4.25 \Rightarrow x = 9 - t = 9 - 4.25 = 4.75\)

\(P = \frac{4.75}{9 - 4.75} + 4.75 \left(\right. 9 - 4.75 \left.\right) = \frac{4.75}{4.25} + 4.75 \times 4.25\)\(\frac{4.75}{4.25} \approx 1.1176 , 4.75 \times 4.25 = 20.1875\)\(P \approx 1.1176 + 20.1875 = 21.3051\)

\(P \rightarrow \frac{0}{9} + 0 \times 9 = 0\)

\(\frac{x}{9 - x} \rightarrow + \infty , x \left(\right. 9 - x \left.\right) \rightarrow 0\)

Nên \(P \rightarrow + \infty\).

Vì \(P \rightarrow + \infty\) gần biên \(x \rightarrow 9^{-}\), nên không có GTLN hữu hạn trên khoảng \(\left(\right. 0 , 9 \left.\right)\).

Còn GTNN là khoảng \(x \rightarrow 0\) hoặc tại cực trị \(x = 4.75\).

Tham khảo

1:

a: \(A=\dfrac{\sqrt{x}+1-2}{\sqrt{x}+1}=1-\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}\)

căn x+1>=1

=>2/căn x+1<=2

=>-2/căn x+1>=-2

=>A>=-2+1=-1

Dấu = xảy ra khi x=0

b: 

Tìm đc mỗi GTNN, cách tìm GTLN chưa chắc chắn lắm nên mk ko lm nha :D

1/ \(A=\sqrt{\left(x-1\right)^2}+\sqrt{\left(3-x\right)^2}=\left|x-1\right|+\left|3-x\right|\ge\left|x-1+3-x\right|=2\)

2/ \(B=\sqrt{x-1-2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{x-1+2\sqrt{x-1}+1}=\sqrt{\left(1-\sqrt{x-1}\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2}\)

\(=\left|1-\sqrt{x-1}\right|+\left|\sqrt{x-1}+1\right|\ge\left|1-\sqrt{x-1}+\sqrt{x-1}+1\right|=2\)

TXĐ: \(x\ge0\)

a/ Đặt \(\sqrt{x}=t\ge0\Rightarrow P=\dfrac{t-1}{t^2+2}\Leftrightarrow Pt^2-t+2P+1=0\) (1)

Ta tìm điều kiện P để (1) có ít nhất một nghiệm không âm

(*) \(\Delta\ge0\Rightarrow1-4P\left(2P+1\right)\ge0\Rightarrow-8P^2-4P+1\ge0\)

\(\Rightarrow\dfrac{-1-\sqrt{3}}{4}\le P\le\dfrac{-1+\sqrt{3}}{4}\)

(**)Để phương trình có 2 nghiệm đều âm \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2P+1}{P}>0\\\dfrac{1}{P}< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow P< \dfrac{-1}{2}\)

\(\Rightarrow\) Để có ít nhất một nghiệm không âm thì \(P\ge\dfrac{-1}{2}\)

Kết hợp (*) và (**) ta được: \(\dfrac{-1}{2}\le P\le\dfrac{-1+\sqrt{3}}{4}\)

Vậy \(P_{min}=\dfrac{-1}{2}\) và \(P_{max}=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{4}\)

b/ TXĐ: \(x\ge0\)

\(P=1-\dfrac{1}{x+\sqrt{x}+1}\)

Để \(P_{min}\Rightarrow\dfrac{1}{x+\sqrt{x}+1}\) đạt max, mà \(x+\sqrt{x}+1\ge1\) \(\forall x\ge0\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{x+\sqrt{x}+1}\le1\) \(\forall x\ge0\) \(\Rightarrow P_{min}=1-1=0\)

Để \(P_{max}\Rightarrow\dfrac{1}{x+\sqrt{x}+1}\) đạt min \(\Rightarrow x+\sqrt{x}+1\) đạt max

Mà giá trị max của \(x+\sqrt{x}+1\) không tồn tại \(\Rightarrow P_{max}\) không tồn tại