\(A=\frac{m^2+5m+3}{m^2+m+1}\)

\(\Leftrightarrow A\cdot m^2+A\cdot m+A=m^2+5m+3\)

\(m^2\left(A-1\right)+m\left(A-5\right)+\left(A-3\right)=0\)

Xét \(\Delta=\left(A-5\right)^2-4\left(A-3\right)\left(A-1\right)\)

\(=A^2-10A+25-4\left(A^2-4A+3\right)\)

\(=-3A^2+6A+12\)

Điều kiện có nghiệm là \(\Delta\ge0\) bám vào đk mà đánh giá tiếp

Xét A = 1 nữa.

Hình như bạn @Lê Đức Anh nhờ tớ làm tiếp thì phải,đến đây EZ rồi chớ

Nhớ xét A = 1 như tth_new nói nha !

\(-3A^2+6A+12=-3\left(A-1\right)^2+15\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(A-1\right)^2\le5\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{5}\le A-1\le\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{5}+1\le A\le\sqrt{5}+1\)

Dấu bằng tự xét nốt :3

Vì \(\hept{\begin{cases}a\ge3\\ab\ge6\end{cases}}\)=> \(b\ge2\)

=> \(\hept{\begin{cases}a^2\ge9\\b^2\ge4\end{cases}}\)=> \(a^2+b^2\ge13\)

Dấu "=" xảy ra khi : \(\hept{\begin{cases}a=3\\b=2\end{cases}}\)

\(x^2-\left(m+2\right)x+m=0\left(1\right)\)

Để phương trình (1) có nghiệm thì:

\(\Delta\ge0\Rightarrow\left(m+2\right)^2-4m\ge0\)

\(\Leftrightarrow m^2+4\ge0\) (luôn đúng)

Vậy \(\forall m\) thì phương trình (1) luôn có nghiệm.

Theo định lí Viete cho phương trình (1) ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+2\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)

\(A=x_1^3-\left(m+1\right)x_1^2+mx_1-5m\)

\(=x_1^3-\left(x_1+x_2-1\right)x_1^2+x_1\left(m-5\right)\)

\(=x_1^3-x_1^3-x_1^2x_2+x_1^2+x_1\left(x_1x_2-5\right)\)

\(=-x_1^2x_2+x_1^2+x_1^2x_2-5x_1\)

\(=x_1^2-5x_1=\left(x_1^2-5x_1+\dfrac{25}{4}\right)-\dfrac{25}{4}=\left(x_1-\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{25}{4}\ge-\dfrac{25}{4}\)

Vậy \(MinA=-\dfrac{25}{4}\).

trả hiểu cái gì cả

trả hiểu cái gì cả

a: Δ=(2m+2)^2-4(m-2)

=4m^2+8m+4-4m+8

=4m^2+4m+12

=(2m+1)^2+11>=11>0

=>Phương trình luôn cóhai nghiệm phân biệt

b: x1^2+2(m+1)x2-5m+2

=x1^2+x2(x1+x2)-4m-m+2

=x1^2+x1x2+x2^2-5m+2

=(x1+x2)^2-2x1x2+x1x2-5m+2

=(2m+2)^2-(m-2)-5m+2

=4m^2+8m+4-m+2-5m+2

=4m^2+2m+8

=4(m^2+1/2m+2)

=4(m^2+2*m*1/4+1/16+31/16)

=4(m+1/4)^2+31/4>=31/4

Dấu = xảy ra khi m=-1/4

Cách khác:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(P=\frac{x^4}{x+xy}+\frac{y^4}{y+yz}+\frac{z^4}{z+zx}\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x+y+z+xy+yz+xz}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz(1)\)

\(\Rightarrow 2(x^2+y^2+z^2)\geq 2(xy+yz+xz)\)

\(\Rightarrow 3(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2\)

\(\Rightarrow (x+y+z)^2\leq 3(x^2+y^2+z^2)\leq (xy+yz+xz)(x^2+y^2+z^2)\leq (x^2+y^2+z^2)^2\)

\(\Rightarrow x+y+z\le x^2+y^2+z^2(2)\)

Từ $(1);(2)$ suy ra:

\(P\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{2(x^2+y^2+z^2)}=\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\geq \frac{xy+yz+xz}{2}\geq \frac{3}{2}\)

Vậy $P_{\min}=\frac{3}{2}$

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{x^3}{y+1}+\frac{y+1}{4}+\frac{1}{2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^3}{y+1}.\frac{y+1}{4}.\frac{1}{2}}=\frac{3x}{2}\)

\(\frac{y^3}{z+1}+\frac{z+1}{4}+\frac{1}{2}\geq \frac{3y}{2}\)

\(\frac{z^3}{1+x}+\frac{1+x}{4}+\frac{1}{2}\geq \frac{3z}{2}\)

Cộng theo vế và thu gọn:

\(\Rightarrow P\geq \frac{5}{4}(x+y+z)-\frac{9}{4}\)

Theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:

\((x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+xz)\geq 9\)

\(\Rightarrow x+y+z\geq 3\)

\(\Rightarrow P\geq \frac{5}{4}(x+y+z)-\frac{9}{4}\geq \frac{5}{4}.3-\frac{9}{4}=\frac{3}{2}\)

Vậy $P_{\min}=\frac{3}{2}$ khi $x=y=z=1$

Ta đặt:

     \(\left\{{}\begin{matrix}x=a-1\\y=b-2\\z=c-3\end{matrix}\right.\)

        \(\Rightarrow x+y+z=3\) và  \(x,y,z\ge0\) (*)

Biểu thứ P trở thành:

     \(P=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)

Từ (*) dễ thấy:

     \(\left\{{}\begin{matrix}0\le x\le3\\0\le y\le3\\0\le z\le3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le x\le\sqrt{3x}\\0\le y\le\sqrt{3y}\\0\le z\le\sqrt{3z}\end{matrix}\right.\)

Do đó:

     \(P\ge\dfrac{x+y+z}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\)

Dầu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(3;0;0\right)=\left(0;3;0\right)=\left(0;0;3\right)\)

\(A=\left(x^2+y^2+1+2xy+2x+2y\right)+\left(y^2-6y+9\right)+2007\)

\(A=\left(x+y+1\right)^2+\left(y-3\right)^2+2007\ge2007\)

\(A_{min}=2007\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=-4\\y=3\end{matrix}\right.\)

b/ Đề sai, cho \(x=y=1\Rightarrow5\ge6\)