các bạn giúp mik với. Đề trên kia là \(\sqrt{x}+2021\) nhé! Mik đánh sai 

P = (x^2 + 2x) - 2024
= (x^2 + 2x + 1) - 1 - 2024
= (x + 1)^2 - 2025

Với mọi giá trị của x, (x + 1)^2 luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Do đó, giá trị nhỏ nhất của P là khi (x + 1)^2 đạt giá trị nhỏ nhất, tức là bằng 0.

Khi (x + 1)^2 = 0, ta có x + 1 = 0, từ đó suy ra x = -1.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là P = (-1 + 1)^2 - 2025 = -2025.

Bạn nên gõ đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để mọi người hiểu đề của bạn hơn.

1, Với \(x\ge0,x\ne1\) ta có :

\(P=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{x-1}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-1\right)\)

   \(=\dfrac{\sqrt{x}+1+\sqrt{x}}{x-1}:\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)

   \(=\dfrac{\left(2\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

   \(=\dfrac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}\)

2, Ta có \(P=\dfrac{7}{4}\)

          \(\Rightarrow\dfrac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{7}{4}\)

         \(\Leftrightarrow4\left(2\sqrt{x}+1\right)=7\left(\sqrt{x}+1\right)\)

         \(\Leftrightarrow8\sqrt{x}+4=7\sqrt{x}=7\)

          \(\Leftrightarrow\sqrt{x}=3\)

          \(\Leftrightarrow x=9\left(tm\right)\)

1) Ta có: \(P=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{x-1}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-1\right)\)

\(=\left(\dfrac{\sqrt{x}+1+\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}\right)\)

\(=\dfrac{2\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}\)

2) Để \(P=\dfrac{7}{4}\) thì \(\dfrac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{7}{4}\)

\(\Leftrightarrow4\cdot\left(2\sqrt{x}+1\right)=7\left(\sqrt{x}+1\right)\)

\(\Leftrightarrow8\sqrt{x}+4=7\sqrt{x}+7\)

\(\Leftrightarrow8\sqrt{x}-7\sqrt{x}=7-4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=3\)

hay x=9(nhận)

Vậy: Để \(P=\dfrac{7}{4}\) thì x=9

\(E=\frac{x+\sqrt{x}}{x-2\sqrt{x}+1}:\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{1-\sqrt{x}}+\frac{2-x}{x-\sqrt{x}}\right)\)

\(E=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}:\) \(\left[\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}+\frac{\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\sqrt{x}}+\frac{2-x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\right]\)

\(E=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}:\)\(\left[\frac{x-1+\sqrt{x}+2-x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\right]\)

\(E=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}:\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(E=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}.\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}+1}\)

\(E=\frac{x}{\sqrt{x}-1}\)

b) \(E>1\Leftrightarrow\frac{x}{\sqrt{x}-1}>1\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{\sqrt{x}-1}-1>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-2\sqrt{x}+1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}>0\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}-1>0\)  vì tử của phân số luôn \(\ge0\forall x\ge0\)

\(\Rightarrow x>1\)

kết hợp với ĐKXĐ \(x\ge0\Rightarrow x>1\)

vậy \(x>1\) thì \(E>1\)

\(M=3\left(\sqrt{x}+1\right)^2-\left(\sqrt{x}+4\right)^2+14\)

\(=3\left(x+2\sqrt{x}+1\right)-\left(x+8\sqrt{x}+16\right)+14\)

\(=3x+6\sqrt{x}+3-x-8\sqrt{x}-16+14\)

\(=2x-2\sqrt{x}+1\)

\(=2\left(x-4\sqrt{x}+4\right)+6\sqrt{x}-7\)

\(=2\left(\sqrt{x}-2\right)^2+6\sqrt{x}-7\ge2.0+6.\sqrt{4}-7=5\)

Dấu "=" \(x=4\)

Vậy GTNN của M là 4 <=> x = 4

\(\left\{{}\begin{matrix}xz=x+4\left(1\right)\\2y^2=7xz-3x-14\\x^2+y^2=35-z^2\left(3\right)\end{matrix}\right.\left(2\right)\)

Nhận thấy \(x=0\) không là nghiệm của (1) . 

\(\rightarrow z=\dfrac{x+4}{x}\)(4)

Thế (1) vào (2) . 

\(2y^2=7\left(x+4\right)-3x-14=4x+14\leftrightarrow y^2=2x+7\)(\(x\ge-\dfrac{7}{2}\)) (5)

Thế (4)(5) vào (3) 

\(x^2+2x+7=35-\left(\dfrac{x+4}{x}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^4+2x^3-27x^2+8x+16=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x-1\right)\left(x^2+7x+4\right)=0\)\(\)

TH1 : \(x-4=0\Leftrightarrow x=4\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\pm\sqrt{15}\\z=2\end{matrix}\right.\)

TH2 : \(x-1=0\Leftrightarrow x=1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\pm3\\z=5\end{matrix}\right.\)

TH3 : \(x^2+7x+4=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{-7+\sqrt{33}}{2}\left(TM\right)\\x=\dfrac{-7-\sqrt{33}}{2}\left(KTM\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{-7+\sqrt{33}}{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\pm\sqrt[4]{33}\\z=-\dfrac{5+\sqrt{33}}{2}\end{matrix}\right.\)

b: Ta có: \(x^2-x+5\)

\(=x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{19}{4}\)

\(=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{19}{4}\ge\dfrac{19}{4}\forall x\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2022}{\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{19}{4}}\le\dfrac{8088}{19}\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=\dfrac{1}{2}\)