thay a^3+b^3=(a+b)^3 -3ab(a+b) .Ta có : 

a^3+b^3+c^3-3abc=0 

<=>(a+b)^3 -3ab(a+b) +c^3 - 3abc=0 

<=>[(a+b)^3 +c^3] -3ab.(a+b+c)=0 

<=>(a+b+c). [(a+b)^2 -c.(a+b)+c^2] -3ab(a+b+c)=0 

<=>(a+b+c).(a^2+2ab+b^2-ca-cb+c^2-3ab)... 

<=>(a+b+c).(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0 

luôn đúng do a+b+c=0

\(\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{a+b+c}=\frac{\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc}{a+b+c}=\frac{\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)

\(=\frac{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)}{a+b+c}=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\)

\(=\frac{1}{2}\left(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\) (đpcm)

a³ + b³ + c³ = 3abc

⇒ a³ + b³ + c³ - 3abc = 0

⇒ ( a³ + b³ ) + c³ - 3abc = 0

⇒ ( a + b )³ - 3ab( a + b ) + c³ - 3abc = 0

⇒ [ ( a + b )³ + c³ ] - [ 3ab( a + b ) + 3abc ] = 0

⇒ ( a + b + c )[ ( a + b )² - ( a + b ).c + c² ] - 3ab( a + b + c ) = 0

⇒ ( a + b + c )( a² + b² + c² - ab - bc - ac ) = 0

⇒ \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\end{cases}}\)

+) a² + b² + c² - ab - bc - ac = 0

⇒ 2( a² + b² + c² - ab - bc - ac ) = 2.0

⇒ 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ac = 0

⇒ ( a² - 2ab + b² ) + ( b² - 2bc + c² ) + ( a² - 2ac + c² ) = 0

⇒ ( a - b )² + ( b - c )² + ( a - c )² = 0

VT ≥ 0 ∀ a,b,c . Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

⇒ a + b + c = 0 hoặc a = b = c ( đpcm )

Ta có : \(a^3+b^3+c^3=3abc\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+2ab-bc-ac\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{2}\left[\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a+b+c=0\\\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a+b+c=0\\a=b=c\end{array}\right.\)

có hoặc nửa à

Chứng minh điều ngược lại với điều phải chứng minh : Cho a + b + c = 0 . Chứng minh rằng a^3 + b^3 + c^3 = 3abc ?

Thay a^3+b^3=(a+b)^3 -3ab(a+b) .Ta có : 
a^3+b^3+c^3-3abc=0 
<=>(a+b)^3 -3ab(a+b) +c^3 - 3abc=0 
<=>[(a+b)^3 +c^3] -3ab.(a+b+c)=0 
<=>(a+b+c). [(a+b)^2 -c.(a+b)+c^2] -3ab(a+b+c)=0 
<=>(a+b+c).(a^2+2ab+b^2-ca-cb+c^2-3ab)... 
<=>(a+b+c).(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0  luôn đúng do a+b+c=0

Vậy điều ngược lại cũng đúng => điều phải chứng minh

•๖ۣۜAƙαĭ ๖ۣۜHαɾυмα•™ [ RBL ] ❧PEWDS☙ chỉ biết đi copy thôi à ?

a) \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+a^2-2a+1+b^2-2b+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)

b) \(a+b+c=0\)

\(\Leftrightarrow a+b=-c\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3=\left(-c\right)^3\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=-c^3\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=-3ab\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=-3ab\cdot\left(-c\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)( đpcm )

ta xét vế trái a^3+b^3+c^3= 
[(a+b)(a^2-ab+b^2)]+c^3.(1) 
Mà theo giả thuyết a+b+c=0 suy ra c= - (a+b)suy ra 
c^3= -(a+b)^3 
Thay vào`(1) ta co [(a+b)(a^2-ab+b^2)] - (a+b)^3 
(nhân tử chúng ta có)=(a+b)[a^2-ab+b^2-(a+b)^2] 
(phan h (a+b)^2) =(a+b)[a^2-ab+b^2-(a^2+2ab+b^2)] 
=(a+b)(a^2-ab+b^2-a^2-2ab-b^2) 
=(a+b).(-3ab) 
= -(a+b).3ab (2) 
theo giả thuyết ta có: a+b+c=0 suy ra c= -(a+b) 
thay vào (2) ta dc 
=3abc 
ta kết luận :vế trái= vế phải 

chúc bn hc tốt

mình có cách giải khác ngắn hơn nè:

thay a^3+b^3=(a+b)^3 -3ab(a+b) .Ta có : 

a^3+b^3+c^3-3abc=0 

<=>(a+b)^3 -3ab(a+b) +c^3 - 3abc=0 

<=>[(a+b)^3 +c^3] -3ab.(a+b+c)=0 

<=>(a+b+c). [(a+b)^2 -c.(a+b)+c^2] -3ab(a+b+c)=0 

<=>(a+b+c).(a^2+2ab+b^2-ca-cb+c^2-3ab)... 

<=>(a+b+c).(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0 

luôn đúng do a+b+c=0

=> vế trái = vế phải 

hc tốt

EM CHỈ MỚI HỌC LỚP 4

\(a^3+b^3+c^3=3abc\)(1)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]=0\)

\(\Rightarrow a+b+c=0\)(2)

Từ 1 và 2

\(\Rightarrow a=b=c\)

#Đức Lộc#

\(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc+3a^2b+3ab^2-3a^2b-3ab^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3abc-3a^2b-3ab^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ac-bc+2ab-3ab\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ac-bc-ab\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\left(1\right)\\a^2+b^2+c^2-ac-bc-ab=0\left(2\right)\end{cases}}\)

Từ (1) ta có đpcm

\(\left(2\right)\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ac-2bc-2ab=0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2+a^2-2ab+b^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-b\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-c=0\\b-c=0\\a-b=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=c\\b=c\\a=b\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c}}\)( đpcm )

Vậy ta có đpcm