1:

BC=căn AB^2+AC^2=5cm

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên BH*BC=BA^2; CH*CB=CA^2

=>HB=3^2/5=1,8cm; CH=4^2/5=3,2cm

AH=căn 1,8*3,2=2,4(cm)

2: ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao

nên AE*EB=HE^2

ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao

nên AF*FC=HF^2

Xét tứ giác AEHF có

góc AEH=góc AFH=góc FAE=90 độ

=>AEHF là hình chữ nhật

AE*EB+AF*FC

=HE^2+HF^2

=EF^2

=AH^2

4:
BE*BA+CF*CA+2*HB*HC

=BH^2+CH^2+2*HB*HC

=(BH+CH)^2=BC^2

Câu a) chắc bạn biết làm nhỉ

a) tam giác ABC vuông tại A nên áp dụng Py-ta-go

\(\Rightarrow AB^2=BC^2-AC^2=15^2-12^2=81\Rightarrow AB=9\left(cm\right)\)

tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AH.BC=AB.AC\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{12.9}{15}=\dfrac{36}{5}\left(cm\right)\)

tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{9^2}{15}=\dfrac{27}{5}\left(cm\right)\)

tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AC^2=CH.BC\Rightarrow CH=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{12^2}{15}=\dfrac{48}{5}\left(cm\right)\)

b) tam giác AHB vuông tại H có đường cao HE nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AE.AB=AH^2\)

tam giác AHC vuông tại HA có đường cao HF nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AF.AC=AH^2=AE.AB\)

c) Vì \(\angle HEA=\angle HFA=\angle EAF=90\Rightarrow AEHF\) là hình chữ nhật

\(\Rightarrow AH=EF\)

tam giác EHF vuông tại H nên áp dụng Py-ta-go

\(\Rightarrow HE^2+HF^2=EF^2=AH^2\)

tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AH^2=HB.HC\Rightarrow HE^2+HF^2=HB.HC\)

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABH vuông tại H có EH là đường cao ứng với cạnh huyền BA, ta được: 

\(AE\cdot AB=AH^2\)(1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔACH vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:

\(AF\cdot AC=AH^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

Lời giải:
a. Áp dụng định lý Pitago:

$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$ (cm) 

$AH=2S_{ABC}:BC=AB.AC:BC=6.8:10=4,8$ (cm) 

$\sin B = \frac{AC}{BC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$

b.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$BE.BA=BH^2$

$AF.AC=AH^2$
$\Rightarrow BE.BA+AF.AC=BH^2+AH^2=AB^2$ (đpcm)

Hình vẽ:

bạn tự giải nhé

chỉ đi

Nếu hỏi hình học mà bạn vẽ hình ra trước thì sẽ nhiều người giúp hơn đấy :3

a, Áp dụng định lý Pytago

=> BC\(^2\)=6\(^2\)+8\(^2\)=100

=> BC=10 (cm)