1.

$x(x+2)(x+4)(x+6)+8$

$=x(x+6)(x+2)(x+4)+8=(x^2+6x)(x^2+6x+8)+8$

$=a(a+8)+8$ (đặt $x^2+6x=a$)

$=a^2+8a+8=(a+4)^2-8=(x^2+6x+4)^2-8\geq -8$

Vậy $A_{\min}=-8$ khi $x^2+6x+4=0\Leftrightarrow x=-3\pm \sqrt{5}$

2.

$B=5+(1-x)(x+2)(x+3)(x+6)=5-(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)$

$=5-(x^2+5x-6)(x^2+5x+6)$

$=5-[(x^2+5x)^2-6^2]$

$=41-(x^2+5x)^2\leq 41$

Vậy $B_{\max}=41$. Giá trị này đạt tại $x^2+5x=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=-5$

3.

Đặt $x+3=a; 7-x=b$ thì $a+b=10$ 

$C=a^4+b^4$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(a^4+b^4)(1+1)\geq (a^2+b^2)^2$

$\Rightarrow C\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}$
$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2=100$

$\Rightarrow a^2+b^2\geq 50$

$\Rightarrow C\geq \frac{50^2}{2}=1250$

Vậy $C_{\min}=1250$

Giá trị này đạt tại $a=b=5\Leftrightarrow x=2$

a.

\(A=\dfrac{2013}{x^2}-\dfrac{2}{x}+1=2013\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2013}\right)^2+\dfrac{2012}{2013}\ge\dfrac{2012}{2013}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=2013\)

b.

\(B=\dfrac{4x^2+2-4x^2+4x-1}{4x^2+2}=1-\dfrac{\left(2x-1\right)^2}{4x^2+2}\le1\)

\(B_{max}=1\) khi \(x=\dfrac{1}{2}\)

\(B=\dfrac{-2x^2-1+2x^2+4x+2}{4x^2+2}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\left(x+1\right)^2}{2x^2+1}\ge-\dfrac{1}{2}\)

\(B_{max}=-\dfrac{1}{2}\) khi \(x=-1\)

Do \(x^2+x+1=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0;\forall x\) nên:

\(A=\dfrac{3\left(x^2+x+1\right)-2x^2-4x-2}{x^2+x+1}=3-\dfrac{2\left(x+1\right)^2}{x^2+x+1}\le3\)

\(A_{max}=3\) khi \(x=-1\)

\(A=\dfrac{3x^2-3x+3}{3\left(x^2+x+1\right)}=\dfrac{x^2+x+1+2x^2-4x+2}{3\left(x^2+x+1\right)}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2\left(x-1\right)^2}{3\left(x^2+x+1\right)}\ge\dfrac{1}{3}\)

\(A_{min}=\dfrac{1}{3}\) khi \(x=1\)

ĐK tồn tại A với mọi x

\(A=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}=\frac{x^2+x+1-2x}{x^2+x+1}=1+\frac{-2x}{x^2+x+1}=1+B\) (*)

Thay vì tìm GTNN & LN của B ta đi tìm GTNN,LN của B

\(B=\frac{-2x}{x^2+x+1}\)

Tìm Max\(2-B=2-\frac{-2x}{x^2+x+1}=\frac{2x^2+2x+2+2x}{x^2+x+1}=\frac{2\left(x^2+2x+1\right)}{x^2+x+1}=\frac{2\left(x+1\right)^2}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\ge0\)

=>\(2-B\ge0\Rightarrow B\le2\Rightarrow A\le2+1=3\)đẳng thức khi Tim Min

\(B+\frac{2}{3}=\frac{-2x}{x^2+x+1}+\frac{2}{3}\Leftrightarrow\frac{-6x+2x^2+2x+2}{3\left(x^2+x+1\right)}=\frac{2\left(x^2-2x+1\right)}{3\left(x^2+x+1\right)}=\frac{2\left(x-1\right)^2}{3\left[\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]}\ge0\)

\(B+\frac{2}{3}\ge0\Rightarrow B\ge-\frac{2}{3}\Rightarrow A\ge1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\) đẳng thức khi x=-1

Kết luận:

GTNN A=1/3 khi x=1

GTLN A=3 khi x=-1

Dùng PP Miền giá trị đi bạn:
Gọi k là 1 giá trị ta có: (x² - x +1)/(x² + x +1) = k (1). Ta cần tìm k để PT (1) có nghiệm
Từ (1) ta có: (x² - x +1) = k.(x² + x +1)
<=> (1 - k)x² - (k + 1)x + (1 - k) = 0 (*)
Del ta =(k + 1)² - 4( 1 - k)² = -3k² + 10k - 3
Để (*) có nghiệm thì del ta ≥ 0
<=> -3k² + 10k - 3 ≥ 0
<=> 1/3 ≤ k ≤ 3
Vậy GTNN của A =1/3 khi (*) có nghiệm kép hay x = -b/2a=(k + 1)/2(1 - k) với k = 1/3 khi đó x = 1
(Thực ra dùng PP Miền giá trị ta còn tìm được Max A = 3 khi x = -1)

A=(x^2+1)^2-x^2

từ đó MinA=1

Bài này chỉ có min, không có max của A nhé bạn

Muốn có max thì x;y;z phải không âm

Lời giải:

Tìm min:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}=\frac{6^2}{3}=12$

Vậy $A_{\min}=12$. Giá trị này đạt tại $x=y=z=2$

--------------

Tìm max:

$A=x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=36-2(xy+yz+xz)$

Vì $x,y,z\geq 0\Rightarrow xy+yz+xz\geq 0$

$\Rightarrow A=36-2(xy+yz+xz)\leq 36$

Vậy $A_{\max}=36$. Giá trị này đạt tại $(x,y,z)=(0,0,6)$ và hoán vị.