cho \(0\le a\le b\le c\le1\) . Tìm GTLN của
\(Q=a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-b\right)+c^2\left(1-c\right)\)
Cho a, b, c không âm thoả mãn \(0\le a\le b\le c\le1\)
tìm GTLN của \(Q=a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-b\right)+c^2\left(1-c\right)\)
Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn \(0\le a\le b\le c\le1\)
Tìm GTLN
\(Q=a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-b\right)+c^2\left(1-c\right)\)
\(Q=a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-b\right)+c^2\left(1-c\right)\)
\(\le b^2\left(c-b\right)+c^2\left(1-c\right)\)
\(=4.\frac{b}{2}.\frac{b}{2}.\left(c-b\right)+c^2\left(1-c\right)\)
\(\le\frac{4.\left(\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+c-b\right)^3}{27}+c^2\left(1-c\right)\)
\(\le\frac{4.c^3}{27}+c^2\left(1-c\right)\)
\(=c^2\left(1-\frac{23c}{27}\right)\)
\(=\frac{23c}{54}.\frac{23c}{54}.\left(1-\frac{23c}{27}\right).\frac{2916}{529}\)
\(\le\frac{2916}{529}.\frac{\left(\frac{23c}{54}+\frac{23c}{54}+1-\frac{23c}{27}\right)^3}{27}=\frac{108}{529}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=0;b=\frac{12}{23};c=\frac{18}{23}\)
CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý A ≥ B ⇔ A − B ≥ 0 1/Định nghĩa A ≤ B ⇔ A − B ≤ 0 2/Tính chất + A>B ⇔ B < A + A>B và B >C ⇔ A > C + A>B ⇒ A+C >B + C + A>B và C > D ⇒ A+C > B + D + A>B và C > 0 ⇒ A.C > B.C + A>B và C < 0 ⇒ A.C < B.C + 0 < A < B và 0 < C <D ⇒ 0 < A.C < B.D + A > B > 0 ⇒ A n > B n ∀n + A > B ⇒ A n > B n với n lẻ + A > B ⇒ A n > B n với n chẵn + m > n > 0 và A > 1 ⇒ A m > A n + m > n > 0 và 0 <A < 1 ⇒ A m < A n 1 1 +A < B và A.B > 0 ⇒ > A B 3/Một số hằng bất đẳng thức + A 2 ≥ 0 với ∀ A ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) + An ≥ 0 với ∀ A ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) + A ≥ 0 với ∀A (dấu = xảy ra khi A = 0 ) + -A <A= A + A + B ≥ A + B ( dấu = xảy ra khi A.B > 0) + A − B ≤ A − B ( dấu = xảy ra khi A.B < 0)Sưu tầm và tuyển chọn 1
Với \(0\le a\le b\le c\le1\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(Q=a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-b\right)+c^2\left(1-c\right)\)
Xét các số thực a,b,c với \(b\ne a+c\) sao cho PT bậc 2 \(ax^2+bx+c=0\) có 2 nghiệm thực m,n thỏa mãn \(0\le m,n\le1\). Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
\(M=\dfrac{\left(a-b\right)\left(2a-c\right)}{a\left(a-b+c\right)}\)
Em tham khảo ở đây:
Max thì đơn giản thôi em:
Do \(0\le m;n\le1\Rightarrow0< 2-mn\le2\)
\(\Rightarrow M=\dfrac{\left(2-mn\right)\left(m+n+1\right)}{mn+m+n+1}\le\dfrac{2\left(m+n+1\right)}{mn+m+n+1}\le\dfrac{2\left(m+n+1\right)}{m+n+1}=2\)
\(M_{max}=2\) khi \(mn=0\)
Cho 3 số a,b,c thỏa mãn \(0\le a\le b\le c\le1\) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức \(B=\left(a+b+c+3\right)\left(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\right)\)
Cho a,b,c,d thỏa mãn \(0\le a,b,c,d\le1\). Tìm GTLN của
\(P=\sqrt[3]{abcd}+\sqrt[3]{\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\left(1-d\right)}\)
Cho \(0\le a\le b\le c\le1\). Tìm max
\(A=\left(a+b+c+3\right)\left(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\right)\)
Bạn tham khảo:
1. cho a,b,c là các số không âm thảo mãn : \(0\le a\le b\le c\le1\) . Tìm gái trị lớn nhất của biểu thức :
\(Q=a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-b\right)+c^2\left(1-c\right)\)
Sau 3 tháng cuối cùng cũng thanh toán được :|
Điểm rơi \(a=0;b=\dfrac{12}{23};c=\dfrac{18}{23}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(b^2\left(c-b\right)=\dfrac{1}{2}\cdot b\cdot b\left(2c-2b\right)\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b+b-2c-2b}{3}\right)^3=\dfrac{4c^3}{27}\)
Và \(a^2\left(b-c\right)\le0\)
\(Q \le \frac{4c^3}{27}+c^2(1-c)=c^2-\frac{23}{27}.c^3=c^2(1-\frac{23}{27}.c)\)
\(=\frac{54^2}{23^2}.c^2.(1-\frac{23}{27}.c) \le \frac{1}{3^3}.\frac{54^2}{23^2}=\frac{108}{529}\)
Cho a,b,c là 3 số thực thỏa mãn \(0\le a\le b\le c\le1\) . Chứng minh rằng
\(b\left(a^2+bc\right)+c\left(c-a^2\right)\le\frac{108}{529}+b^3+c^3\)
\(DPCM\Leftrightarrow P=a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-b\right)+c^2\left(1-c\right)\le\frac{108}{529}\)
Ta có: \(0\le a\le b\le c\le1\Rightarrow a^2\left(b-c\right)\le0\left(1\right)\)
\(b^2\left(c-b\right)=4.\frac{b}{2}.\frac{b}{2}.\left(c-b\right)\le4\left(\frac{\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+c-b}{3}\right)^3=\frac{4c^3}{27}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{4c^3}{27}+c^2\left(1-c\right)=c^2\left(1-\frac{23c}{27}\right)=\frac{23c}{54}.\frac{23c}{54}\left(1-\frac{23c}{27}\right).\frac{54^2}{23^2}\)
Tiếp
\(\le\left(\frac{\frac{23c}{54}+\frac{23c}{54}+1-\frac{23c}{27}}{3}\right)^3.\frac{54^2}{23^2}=\frac{1}{27}.\frac{54^2}{23^2}=\frac{108}{529}\)
Dấu bằng xảy ra\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2\left(b-c\right)=0\\\frac{b}{2}=c-b\\\frac{23c}{54}=1-\frac{23c}{27}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=0\\b=\frac{2}{3}c\\c=\frac{18}{23}\end{cases}}\)