a) Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{x-1}=a\\\frac{1}{y-1}=b\end{matrix}\right.\)

\(hpt\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5a+b=10\\a-3b=18\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}15a+3b=30\\a-3b=18\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-3b=18\\16a=48\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=-5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{x-1}=3\\\frac{1}{y-1}=-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{4}{3}\\y=\frac{4}{5}\end{matrix}\right.\)

Vậy...

b) Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{x-7}}=a\\\frac{1}{\sqrt{y+6}}=b\end{matrix}\right.\)

\(hpt\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7a-4b=\frac{5}{2}\\5a+3b=\frac{13}{6}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}31a-12b=\frac{15}{2}\\20a+12b=\frac{26}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7a-4b=\frac{5}{2}\\51a=\frac{97}{6}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{97}{306}\\b=\frac{-43}{612}\end{matrix}\right.\)( loại vì \(a,b>0\) )

Vậy hệ vô nghiệm

Is that true .-.

Cho xin solve lại câu b)

hpt \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}21a-12b=\frac{15}{2}\\20a+12b=\frac{26}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5a+3b=\frac{13}{6}\\41a=\frac{97}{6}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{97}{246}\\b=\frac{8}{123}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{x-7}}=\frac{97}{246}\\\frac{1}{\sqrt{y+6}}=\frac{8}{123}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{126379}{9409}\\y=\frac{14745}{64}\end{matrix}\right.\)

Vậy...

ĐKXĐ : \(\left\{{}\begin{matrix}x>7\\y>-6\end{matrix}\right.\)

- Đặt \(\frac{1}{\sqrt{x-7}}=a,\frac{1}{\sqrt{y+6}}=b\) ( \(a,b\ne0\) ) vào hệ phương trình ta được :

\(\left\{{}\begin{matrix}7a-4b=\frac{5}{3}\\5a+3b=\frac{13}{6}\end{matrix}\right.\)

( đoạn này ruễ tự giải nhoa )

=> \(\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{1}{3}\\b=\frac{1}{6}\end{matrix}\right.\)( TM )

- Thay lại \(\frac{1}{\sqrt{x-7}}=a,\frac{1}{\sqrt{y+6}}=b\) vào hệ phương trình ta được :

\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{x-7}}=\frac{1}{3}\\\frac{1}{\sqrt{y+6}}=\frac{1}{6}\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-7}=3\\\sqrt{y+6}=6\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}x-7=9\\y+6=36\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=16\\y=30\end{matrix}\right.\) ( TM )

Vậy .........

a) \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=-1\\x-y=5\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3y=-6\\x-y=5\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-2\\x=3\end{matrix}\right.\)

Vậy..............................................................................

b) \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{5}{x}-\frac{6}{y}=3\\\frac{4}{x}+\frac{9}{y}=7\end{matrix}\right.\)ĐKXĐ: x,y≠0

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{20}{x}-\frac{24}{y}=12\\\frac{20}{x}+\frac{45}{y}=35\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{69}{y}=23\\\frac{20}{x}+\frac{45}{y}=35\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3\\x=10\end{matrix}\right.\)

Vậy...................................................................................

c) \(\left\{{}\begin{matrix}3\sqrt{x+1}+\sqrt{y-1}=1\\\sqrt{x+1}-\sqrt{y-1}=-2\end{matrix}\right.\)ĐKXĐ:\(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-1\\y\ge1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow4\sqrt{x+1}\)\(=-1\)(vô nghiệm)

Vậy hệ pt vô nghiệm

d) Nhân 3 pt đầu rồi thu gọn

Câu 1: ĐK: $x\geq 1$

Xét PT(1):

\(x^2+xy(2y-1)=2y^3-2y^2-x\)

\(\Leftrightarrow x^2-xy+x+(2xy^2-2y^3+2y^2)=0\)

\(\Leftrightarrow x(x-y+1)+2y^2(x-y+1)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y+1)(x+2y^2)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} y=x+1\\ 2y^2=-x\end{matrix}\right.\)

Nếu $y=x+1$, thay vào PT(2):

$\Rightarrow 6\sqrt{x-1}+x+8=4x^2$

$\Leftrightarrow 4(x^2-4)-6(\sqrt{x-1}-1)-(x-2)=0$

\(\Leftrightarrow 4(x-2)(x+2)-6.\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}-(x-2)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-2)\left[4(x+2)-\frac{6}{\sqrt{x-1}+1}-1\right]=0\)

Với mọi $x\geq 1$ dễ thấy:

$4(x+2)\geq 12$

\(\frac{6}{\sqrt{x-1}+1}+1\leq 6+1=7\)

Suy ra biểu thức trong ngoặc vuông lớn hơn $0$

$\Rightarrow x-2=0\Rightarrow x=2$ (thỏa mãn)

$\Rightarrow y=x+1=3$

Nếu $2y^2=-x\Rightarrow -x\geq 0\Rightarrow x\leq 0$ (vô lý do $x\geq 1$)

Vậy $(x,y)=(2,3)$

Câu 2:

Nếu như bạn nói những bài toán này được giải theo kiểu đưa về phân tích thành nhân tử thì đề bài của bạn có lẽ sai vì không pt nào trong câu này đưa được về dạng tích. Mình thấy PT(1) có lẽ cần sửa lại thành:

\(x\sqrt{x^2+y}+y=\sqrt{x^4+x^3}+x\)

ĐKXĐ: $x\geq 1; y\geq 0$

Với $x\geq 1; y\geq 0$. Xét PT(1):

\(\Leftrightarrow (x\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^4+x^3})+(y-x)=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{x^2(x^2+y)-(x^4+x^3)}{x\sqrt{x^2+y}+\sqrt{x^4+x^3}}+(y-x)=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{x^2(y-x)}{x\sqrt{x^2+y}+\sqrt{x^4+x^3}}+(y-x)=0\)

\(\Leftrightarrow (y-x)\left[\frac{x^2}{x\sqrt{x^2+y}+\sqrt{x^4+x^3}}+1\right]=0\)

Dễ thấy biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương với mọi $x\geq 1; y\geq 0$ nên $y-x=0\Rightarrow y=x$

Thay vào PT(2):

$x+\sqrt{x}+\sqrt{x-1}+\sqrt{x(x-1)}=\frac{9}{2}$

\(\Leftrightarrow 2x+2\sqrt{x}+2\sqrt{x-1}+2\sqrt{x(x-1)}-9=0\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{x-1})^2+2(\sqrt{x}+\sqrt{x-1})-8=0\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{x-1}-2)(\sqrt{x}+\sqrt{x-1}+4)=0\)

Dễ thấy \(\sqrt{x}+\sqrt{x-1}+4>0\) nên $\sqrt{x}+\sqrt{x-1}=2$

$\Rightarrow 2x-1+2\sqrt{x(x-1)}=4$

$\Leftrightarrow 5-2x=2\sqrt{x(x-1)}$

Tiếp tục bình phương kết hợp với điều kiện $x\leq \frac{5}{2}$ ta tìm được $x=\frac{25}{16}$

Vậy $x=y=\frac{25}{16}$

Câu 2:

Nếu như bạn nói những bài toán này được giải theo kiểu đưa về phân tích thành nhân tử thì đề bài của bạn có lẽ sai vì không pt nào trong câu này đưa được về dạng tích. Mình thấy PT(1) có lẽ cần sửa lại thành:

\(x\sqrt{x^2+y}+y=\sqrt{x^4+x^3}+x\)

ĐKXĐ: $x\geq 1; y\geq 0$

Với $x\geq 1; y\geq 0$. Xét PT(1):

\(\Leftrightarrow (x\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^4+x^3})+(y-x)=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{x^2(x^2+y)-(x^4+x^3)}{x\sqrt{x^2+y}+\sqrt{x^4+x^3}}+(y-x)=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{x^2(y-x)}{x\sqrt{x^2+y}+\sqrt{x^4+x^3}}+(y-x)=0\)

\(\Leftrightarrow (y-x)\left[\frac{x^2}{x\sqrt{x^2+y}+\sqrt{x^4+x^3}}+1\right]=0\)

Dễ thấy biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương với mọi $x\geq 1; y\geq 0$ nên $y-x=0\Rightarrow y=x$

Thay vào PT(2):

$x+\sqrt{x}+\sqrt{x-1}+\sqrt{x(x-1)}=\frac{9}{2}$

\(\Leftrightarrow 2x+2\sqrt{x}+2\sqrt{x-1}+2\sqrt{x(x-1)}-9=0\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{x-1})^2+2(\sqrt{x}+\sqrt{x-1})-8=0\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{x-1}-2)(\sqrt{x}+\sqrt{x-1}+4)=0\)

Dễ thấy \(\sqrt{x}+\sqrt{x-1}+4>0\) nên $\sqrt{x}+\sqrt{x-1}=2$

$\Rightarrow 2x-1+2\sqrt{x(x-1)}=4$

$\Leftrightarrow 5-2x=2\sqrt{x(x-1)}$

Tiếp tục bình phương kết hợp với điều kiện $x\leq \frac{5}{2}$ ta tìm được $x=\frac{25}{16}$

Vậy $x=y=\frac{25}{16}$