Câu 1:

Để pt có 2 nghiệm \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\\Delta'=\left(m-2\right)^2-m\left(m-3\right)\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\-m+4\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m\le4\end{matrix}\right.\)

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\frac{2\left(m-2\right)}{m}\\x_1x_2=\frac{m-3}{m}\end{matrix}\right.\)

\(A=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(=\frac{4\left(m-2\right)^2}{m^2}-\frac{2\left(m-3\right)}{m}=\frac{4m^2-8m+4}{m^2}-\frac{2m-6}{m}\)

\(=4-\frac{8}{m}+\frac{4}{m^2}-2+\frac{6}{m}=\frac{4}{m^2}-\frac{2}{m}+2\)

\(=4\left(\frac{1}{m}-\frac{1}{4}\right)^2+\frac{7}{4}\ge\frac{7}{4}\)

\(A_{min}=\frac{7}{4}\) khi \(\frac{1}{m}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow m=4\)

Câu 2:

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-m+3=m^2-3m+4=\left(m-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{7}{4}>0;\forall m\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=m-3\end{matrix}\right.\)

\(P=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(=4\left(m-1\right)^2-2\left(m-3\right)\)

\(=4m^2-10m+10=4\left(m-\frac{5}{4}\right)^2+\frac{15}{4}\ge\frac{15}{4}\)

\(\Rightarrow P_{min}=\frac{15}{4}\) khi \(m=\frac{5}{4}\)

a, Ta có : \(mx^3-x^2+2x-8m=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(x^3-8\right)-\left(x^2-2x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)-x\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(mx^2+2mx+4m-x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(mx^2+x\left(2m-1\right)+4m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2=0\\mx^2+x\left(2m-1\right)+4m=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\left(TM\right)\\mx^2+x\left(2m-1\right)+4m=0\left(I\right)\end{matrix}\right.\)

- Để phương trình ban đầu có 3 nghiệm phân biệt lớn hơn 1

<=> Phương trình ( I ) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1 .

- Xét phương trình ( I ) có : \(\Delta=b^2-4ac=\left(2m-1\right)^2-4m.4m\)

\(=4m^2-4m+1-16m^2=-12m^2-4m+1\)

- Để phương trình ( I ) có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta>0\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{2}< m< \dfrac{1}{6}\) ( * )

- Theo vi ét : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{1-2m}{m}\\x_1x_2=4\end{matrix}\right.\)

- Để phương trình ( I ) có nghiệm lớn hơn 1 \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1-1+x_2-1>0\\\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1-4m}{m}>0\\5-\dfrac{1-2m}{m}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1-4m}{m}>0\\\dfrac{7m-1}{m}>0\end{matrix}\right.\)

- Lập bảng xét dấu ( đoạn này làm tắt tí nha :vv )

Từ bảng xét dấu ta được : \(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m< 0\\m>\dfrac{1}{7}\end{matrix}\right.\\0< m< \dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)

- Kết hợp điều kiện ( * ) ta được :\(\dfrac{1}{7}< m< \dfrac{1}{6}\)

Vậy ...

b, - Xét phương trình trên có : \(\Delta^,=b^{,2}-ac=\left(m-2\right)^2-\left(m-1\right)\left(m-3\right)\)

\(=m^2-4m+4-m^2+m+3m-3=1>0\)

Nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt .

Theo vi ét : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2\left(m-2\right)}{m-1}\\x_1x_2=\dfrac{m-3}{m-1}\end{matrix}\right.\)

- Để \(x_1+x_2+x_1x_2< 1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2\left(m-2\right)+\left(m-3\right)-\left(m-1\right)}{m-1}< 0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2m-6}{m-1}< 0\)

- Đặt \(\dfrac{2m-6}{m-1}=f\left(m\right)\)

Cho f(m) = 0 => m = 3

m-1 = 0 => m = 1

- Lập bảng xét dầu :

m.............................1..........................................3...................................

2m-6............-..........|......................-.....................0...................+.................

m-1..............-............0...................+.....................|....................+.................

f(m).............+...........||..................-........................0................+....................

- Từ bảng xét dầu ta được : Để \(f\left(m\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow1< m< 3\)

Vậy ...

tìm đk m khác 0

 đenta' = (m+1)²-m²-3m= 2m-2 >0 (=) m>1

áp dụng hệ thức vi-ét: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{2m+1}{m}=2+\frac{1}{m}\\x_1.x_2=\frac{m+3}{m}=1+\frac{3}{m}\end{cases}}\)

=) x₁x₂ - 3(x₁+x₂)=-5

Lời giải:

Để pt có 2 nghiệm thì: 

\(\left\{\begin{matrix} m\neq 0\\ \Delta'=(m+1)^2-m(m+5)=1-3m\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq 0\\ m\leq\frac{1}{3}\end{matrix}\right.(1)\)

Áp dụng định lý Viet:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{2(m+1)}{m}\\ x_1x_2=\frac{m+5}{m}\end{matrix}\right.\)

Để $x_1< 0< x_2$

$\Leftrightarrow x_1x_2< 0$

$\Leftrightarrow \frac{m+5}{m}< 0$

$\Leftrightarrow -5< m< 0(2)$

$x_1< x_2< 2$

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x_1-2)(x_2-2)>0\\ x_1+x_2<4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_1x_2-2(x_1+x_2)+4>0\\ x_1+x_2<4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{m+1}{m}>0\\ \frac{1-m}{m}< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} m>1\\ m< -1\end{matrix}\right.(3)\)

Từ $(1);(2);(3)$ suy ra $-5< m< -1$

\(\Delta=m^2-4\left(m-2\right)=\left(m-2\right)^2+4>0;\forall m\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)

\(P=x_1x_2-\left(x_1^2+x_2^2\right)=3x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)^2\)

\(P=3\left(m-2\right)-m^2=-m^2+3m-6=-\left(m-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{15}{4}\le-\dfrac{15}{4}\)

\(P_{max}=-\dfrac{15}{4}\) khi \(m=\dfrac{3}{2}\)

\(P_{min}\) ko tồn tại

Bạn ghi sai đề?

\(Δ=(-m)^2-4.1.(m-2)\\=m^2-4m+8\\=m^2-4m+4+4\\=(m-2)^2+4\)

\(\to\) Pt luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo Viét

\(\begin{cases}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-2\end{cases}\)

\(x_1x_2-x_1^2-x_2^2\\=3x_1x_2-(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)\\=3x_1x_2-(x_1+x_2)^2\\=3(m-2)-m^2\\=-m^2+3m-6\\=-\bigg(m^2-2.\dfrac{3}{2}.m+\dfrac{9}{4}+\dfrac{15}{4}\bigg)\\=-\bigg(m-\dfrac{3}{2}\bigg)^2-\dfrac{15}{4}\le -\dfrac{15}{4}\\\to \max P=-\dfrac{15}{4}\leftrightarrow m-\dfrac{3}{2}=0\\\leftrightarrow m=\dfrac{3}{2}\)

Vậy \(\max P=-\dfrac{15}{4}\)

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2+m+3=m^2-m+4=\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{2}>0;\forall m\)

\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi m

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=-m-3\end{matrix}\right.\)

a.

\(A=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(=4\left(m-1\right)^2+2\left(m+3\right)=4m^2-6m+10\)

\(=4\left(m-\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{31}{4}\ge\dfrac{3}{4}\)

Dấu = xảy ra khi \(m=\dfrac{3}{4}\)

b.

\(x_1^2+x_2^2=8m^3-8m^2\)

\(\Leftrightarrow4m^2-6m+10=8m^3-8m^2\)

\(\Leftrightarrow8m^3-12m^2+6m-1=9\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)^3=9\)

\(\Leftrightarrow2m-1=\sqrt[3]{9}\)

\(\Rightarrow m=\dfrac{1+\sqrt[3]{9}}{2}\)

a: Δ=(2m-2)^2-4(-m-3)

=4m^2-8m+4+4m+12

=4m^2-4m+16

=4m^2-4m+1+15=(2m-1)^2+15>0

=>Phương trình luôn có 2 nghiệm pb

A=x1^2+x2^2

=(x1+x2)^2-2x1x2

=(2m-2)^2-2(-m-3)

=4m^2-8m+4+2m+6

=4m^2-6m+10

=4(m^2-3/2m+5/2)

=4(m^2-2*m*3/4+9/16+31/16)

=4(m-3/4)^2+31/4>=31/4

Dấu = xảy ra khi m=3/4

b: x1^2+x2^=8m^3-8m^2

=>4m^2-6m+10=8m^3-8m^2

=>8m^3-8m^2-4m^2+6m-10=0

=>8m^3-12m^2+6m-10=0

=>\(m\simeq1,54\)