Lời giải:
$2x^2+12x+19=2(x^2+6x+9)+1$

$=2(x+3)^2+1\geq 2.0+1=1>0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$

Tức là $2x^2+12x+19\neq 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$

Vậy đa thức đó vô nghiệm.

`2x^2+12x+19`

`=2(x^2+6x+19/2)`

`=2(x^2+2.x.3+9+1/2)`

`=2(x^2+2.x.3+3^2)+2.1 /2`

`=2(x+3)^2+1`

Ta thấy : `2(x+3)^2>=0`

`=>2(x+3)^2+1>=1>0`

Vậy đa thức đã cho vô nghiệm

Ta có: \(2x^2+12x+19\)

\(=2\left(x^2+6x+\dfrac{19}{2}\right)\)

\(=2\left(x^2+6x+9+\dfrac{1}{2}\right)\)

\(=2\left(x+3\right)^2+1>0\forall x\)

f(x)=x^2-6x+9+1=(x-3)^2+1>=1>0 với mọi x

=>F(x) vô nghiệm

\(f\left(x\right)=x^2-6x+9+1=\left(x-3\right)^2+1\)

Do \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-3\right)^2\ge0\\1>0\end{matrix}\right.\) ;\(\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x-3\right)^2+1>0\) ;\(\forall x\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) vô nghiệm

Ta có f(x) = x² + x + 1 = \(\left(x^2+\frac{1}{2}x\right)+\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}=x\left(x+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2}\right)+\frac{3}{4}\)

\(=\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)+\frac{3}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}>0\left(\text{vì }\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\right)\)

=> f(x) vô nghiệm

\(\Leftrightarrow\left(m^2-m\right)x=2x+m^2+3m+2\)

\(\Rightarrow-2x+\left(m^2-m\right)x-m^2-3m-2=0\)

\(\Rightarrow\left(\left(m-2\right)x-m-2\right)\left(m+1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(m-2\right)x-m-2=0\)

\(\Rightarrow m-2=0\)

=>m=2

vậy ms đúng Happy New Year

1 năm nữa rồi em sẽ giúp nhé!!!!!!!!!!! Xin lỗi nhưng chúc năm ms zui zẻ nhé!!!!!!!! 

\(\Leftrightarrow\left(mm^2-m\right)x=2x+m^2+3m+2\)

\(\Rightarrow-2x+\left(m^2-m\right)x-m^2-3m-2=0\)

\(\Rightarrow\left(\left(m-2\right)x-m-2\right)\left(m+1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(m-2\right)x-m-2=0\)

\(\Rightarrow m-2=0\)

=>m=2

\(2x^2-6x+7=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2-3x+\frac{9}{4}\right)+\frac{19}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{19}{4}=0\)

Mà : \(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow2\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{19}{4}\ge\frac{19}{4}>0\)

Vậy phương trình vô nghiệm (đpcm)

1. Ta chọn $x=3k;y=4k;z=5k$ với $k$ là số nguyên dương.

Khi này $x^2+y^2=25k^2 =z^2$. Tức có vô hạn nghiệm $(x;y;z)=(3k;4k;5k)$ với $k$ là số nguyên dương thỏa mãn

Câu 2:

Chọn $x=y=2k^3; z=2k^2$ với $k$ nguyên dương.

Khi này $x^2+y^2 =8k^6 = z^3$.

Tức tồn tại vô hạn $(x;y;z)=(2k^3;2k^3;2k^2) $ với $k$ nguyên dương là nghiệm phương trình.

Câu 2:

Chọn  với nguyên dương.

Khi này .

Tức tồn tại vô hạn  với  nguyên dương là nghiệm phương trình.

x² + x + 1 = x² + \(\frac{1}{2}\). x+ \(\frac{1}{2}\).x + \(\frac{1}{4}\)+ \(\frac{3}{4}\) = (x² + \(\frac{1}{2}\). x) +( \(\frac{1}{2}\).x + \(\frac{1}{4}\)) + \(\frac{3}{4}\) = x.(x + \(\frac{1}{2}\) ) + \(\frac{1}{2}\).(x + \(\frac{1}{2}\)) + \(\frac{3}{4}\)

= (x + \(\frac{1}{2}\) ). (x + \(\frac{1}{2}\) ) + \(\frac{3}{4}\) = (x + \(\frac{1}{2}\))²  + \(\frac{3}{4}\) \(\ge\) 0 + \(\frac{3}{4}\)= \(\frac{3}{4}\) với mọi x

=> x² + x + 1 = 0 không có nghiệm

Bằng 2 cách

f(x) đề có cho bằng 0 không vậy em ? 

Ta có: \(x^2+x+1\)

\(=x^2+2\cdot x\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\)

\(=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\forall x\)

hay đa thức \(f\left(x\right)=x^2+x+1\) vô nghiệm