Cho đường tròn (O; R). Một đường thẳng d cắt đường tròn (O) tại hai điểm C và D. Từ một điểm I thuộc đường thẳng d, ở ngoài đường tròn (O) sao cho ID > IC, kẻ hai tiếp tuyến IA và IB tới đường tròn (O). Gọi H là trung điểm của CD.
1. Chứng minh năm điểm A, H, O, B, I cùng thuộc một đường tròn.
2. Giả sử AI = AO, khi đó tứ giác AOBI là hình gì? Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác AOBI?
3. Chứng minh rằng khi I di chuyển trên đường thẳng d thỏa mãn: Ở ngoài (O) và ID > IC thì AB luôn đi qua một điểm cố định.
1) Trong (O) có CD là dây cung không đi qua (O) và H là trung điểm CD
\(\Rightarrow OH\bot CD\Rightarrow\angle OHI=90=\angle OAI\Rightarrow OHAI\) nội tiếp
Ta có: \(\angle OAI+\angle OBI=90+90=180\Rightarrow OAIB\) nội tiếp
\(\Rightarrow O,H,A,B,I\) cùng thuộc 1 đường tròn
2) Vì IA,IB là tiếp tuyến \(\Rightarrow IB=IA=OA=OB\Rightarrow AOBI\) là hình thoi
có \(\angle OAI=90\Rightarrow AOBI\) là hình vuông
AB cắt OI tại E.Dễ chứng minh được E là trung điểm AB
Ta có: \(AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2}R\Rightarrow AE=\dfrac{\sqrt{2}}{2}R\)
\(\Rightarrow\) bán kính của (AOBI) là \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}R\)
\(\Rightarrow\) diện tích của (AOBI) là \(\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}R\right)^2.\pi=\dfrac{1}{2}\pi R^2\)
3) OH cắt AB tại F
Ta có: \(\angle IEF=\angle IHF=90\Rightarrow IEHF\) nội tiếp
\(\Rightarrow OH.OF=OE.OI\) (cái này chỉ là đồng dạng thôi,bạn tự chứng minh nha)
mà \(OE.OI=OB^2=R^2\Rightarrow OF=\dfrac{R^2}{OH}\)
mà H cố định \(\Rightarrow\) F cố định \(\Rightarrow AB\) đi qua điểm F cố định 
Cho hai đường tròn (O) và(O')cắt nhau tại A và B. Vẽ AC, AD thứ tự là đường kính của hai đường tròn (O) và (O)'.
1. Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng.
2. Đường thẳng AC cắt đường tròn(O')tại E; đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại F (E, F khác A). Chứng minh 4 điểm C, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn.
3. Chứng minh tia BA là tia phân giác của góc EBF
1: Xét (O) có
\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
nên \(\widehat{ABC}=90^0\)
Xét (O') có
\(\widehat{ABD}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
nên \(\widehat{ABD}=90^0\)
Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=\widehat{CBD}\)
\(\Leftrightarrow\widehat{CBD}=90^0+90^0=180^0\)
hay C,B,D thẳng hàng(đpcm)
cho hai đường tròn tâm O và O' tiếp xúc ngoài với nhau tại A, có đường kính AB của đường tròn tâm O, đường kính AC của đường tròn O', gọi MN là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (M thuộc đường tròn O, N thuộc đường tròn O') hai tia BM và CN cắt nhau tại E. a) CM: tam giác EBC là tam giác vuông b) CM: EB.EM=EN.EC c) Tính MN biết bán kính của đường tròn (O) và (O') lần lượt là 9cm và 4cm
Cho hai đường tròn ( O ) và đường tròn (O' ) tiếp xúc ngoài tại A đường nối tâm OO' cắt đường tròn ( O ) ở B , cắt đường tròn ( O') tại C . DE là 1 tiếp tuyến chung ngoài của 2 đường tròn . gọi M là giao của BD và EC
Cho đường tròn (O) và điểm K nằm bên ngoài đường tròn (O). Kẻ hai tiếp tuyến KA,KB với đường tròn (O), A và B là các tiếp điểm. Từ điểm K vẽ đường thẳng d cắt đường tròn (O) tại hai điểm C,D (KC <KD, d không đi qua tâm O).
1) Chứng minh tứ giác KAOB là tứ giác nội tiếp.
2) Gọi giao điểm của đoạn thẳng AB với đoạn thẳng OK là M. Chứng minh KA²=KC.KD =KM.KO.
3) Chứng minh đường thẳng AB chứa tia phân giác của CMD
1: Xét tứ giác KAOB có \(\widehat{KAO}+\widehat{KBO}=90^0+90^0=180^0\)
nên KAOB là tứ giác nội tiếp
2: Xét (O) có
\(\widehat{KAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AK và dây cung AC
\(\widehat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó: \(\widehat{KAC}=\widehat{ADC}\)
Xét ΔKAC và ΔKDA có
\(\widehat{KAC}=\widehat{KDA}\)
\(\widehat{AKC}\) chung
Do đó: ΔKAC đồng dạng với ΔKDA
=>\(\dfrac{KA}{KD}=\dfrac{KC}{KA}\)
=>\(KA^2=KC\cdot KD\)
Xét (O) có
KA,KB là các tiếp tuyến
Do đó: KA=KB
=>K nằm trên đường trung trực của AB(1)
Ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1) và (2) suy ra OK là đường trung trực của AB
=>OK\(\perp\)AB tại M và M là trung điểm của AB
Xét ΔOAK vuông tại A có AM là đường cao
nên \(KM\cdot KO=KA^2\)
=>\(KA^2=KM\cdot KO=KC\cdot KD\)
Cho 1/2 đường tròn tâm O, đường kính AD, hai điểm B và C thuộc 1/2 đường tròn. Cho AB=BC=2√5 cm, CD=6cm. Tính bán kính R của đường tròn tâm O
Cho đường tròn tâm O bán kính 2cm. Trên đường tròn (o) ta lấy điểm o' &vẽ đường tròn (o';2cm).hai đường tròn này cắt nhau tại hai điểm A,B.tính O,O'
Cho 1 điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O; 6cm). Kẻ hai tiếp tuyến MN, MP (N, P là hai tiếp điểm) của đường tròn (O). Vẽ cát tuyến MAB của đường trong (O) sao cho đoạn thẳng AB=6cm với A, B thuộc đường tròn (O), A nằm giữa M và B.
a) Chứng minh tứ giác OPMN là tứ giác nội tiếp
b) Gọi H là trung điểm đoạn thẳng AB. So sánh góc MON và góc MHN
c) Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung nhỏ AB và dây AB của hình tròn tâm (O)
a: góc ONM+góc OPM=180 độ
=>ONMP nội tiếp
b: góc OHM=góc ONM=90 độ
=>OHNM nội tiếp
=>góc MON=góc MHN
