Chứng minh được H, N đối xứng với nhau qua AB; H, M đối xứng với nhau qua AC.

Ta có: \(\widehat{HPI}+\widehat{HQI}=2\left(\widehat{HNP}+\widehat{HMQ}\right)=2\left(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}\right)=2\left(180^o-\widehat{BIC}\right)=2\widehat{BAC}=2\left(90^o-\widehat{ABE}\right)=180^o-\widehat{NBM}=180^o-\widehat{PIQ}\)

Vậy P, Q, H thẳng hàng.

Giải chi tiết:

a) Chứng minh tứ giác AEHF và BCEF nội tiếp.

Ta có ∠AEH=∠AFH=90o⇒∠AEH=∠AFH=90o⇒ E, F thuộc đường tròn đường kính AH

⇒⇒ A, E, H, F cùng thuộc một đường tròn

⇒AEHF⇒AEHF là tứ giác nội tiếp (dhnb).

Ta có ∠BEC=∠BFC=90o⇒∠BEC=∠BFC=90o⇒ BCEF  là tứ giác nội tiếp (dhnb)

b) Hai đường thẳng EF và BC cắt nhau tại I. Vẽ tiếp tuyến ID với (O)(O)(D là tiếp điểm, D thuộc cung nhỏ BC). Chứng minh ID2=IB.ICID2=IB.IC.

Xét ΔIBDΔIBD và ΔIDCΔIDC có:

∠I∠I  chung

∠IDB=∠ICD∠IDB=∠ICD (ID là tiếp tuyến của (O)(O))

⇒ΔIBD∼ΔIDC(g−g)⇒IDIC=IBID⇒ID2=IB.IC(dpcm).⇒ΔIBD∼ΔIDC(g−g)⇒IDIC=IBID⇒ID2=IB.IC(dpcm).

c) DE, DF cắt đường tròn (O)(O) tại M và N. Chứng minh NM // EF.

Xét ΔIBEΔIBE và ΔIFCΔIFC có:

∠I∠I chung

∠IEB=∠ICF∠IEB=∠ICF (BCEF  là tứ giác nội tiếp)

⇒ΔIBE∼ΔIFC(g−g)⇒IEIC=IBIF⇒IB.IC=IE.IF⇒ΔIBE∼ΔIFC(g−g)⇒IEIC=IBIF⇒IB.IC=IE.IF (kết hợp b)

⇒ID2=IE.IF⇒IDIE=IFID⇒ID2=IE.IF⇒IDIE=IFID 

Xét ΔIDFΔIDF và ΔIEDΔIED có:

∠I∠I chung

 IDIE=IFID(cmt)IDIE=IFID(cmt)

⇒ΔIDF∼ΔIED⇒∠IDF=∠IED⇒ΔIDF∼ΔIED⇒∠IDF=∠IED (2 góc tương ứng)

Mặt khác ∠IDF=∠NMD∠IDF=∠NMD (ID là tiếp tuyến của (O)(O)) ⇒∠IED=∠NMD⇒∠IED=∠NMD (tc)

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị ⇒⇒ NM // EF.

Cho tam giác ABC nhọn AB

CHÚC BẠN HỌC TỐT

NÈ BẠN

d) Tam giác ADB vuông tại D có: ∠(A1) + ∠(ABC) = 90o (1)

Tam giác BCF vuông tại F có: ∠(C1) + ∠(ABC) = 90o (2)

Từ (1)và (2) ⇒ ∠(A1) = ∠(C1)

Mặt khác, ta có: ∠( A 1 ) = ∠( C 2 ) ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung BM)

⇒ ∠( C 1 ) = ∠( C 2 )

⇒ CD là tia phân giác của góc HCM

Xét tam giác HCM có: CD vừa là tia phân giác vừa là đường cao (CD⊥HD)

⇒ Δ HCM cân tại C

⇒ CD cũng là trung tuyến của của HM hay H và M đối xứng với nhau qua D.

xét tứ giác BFHD có 

góc BFH + góc BDH = 180 

mà nó là 2 góc đối => nội tiếp => góc FDH = góc FBE 

chứng minh tương tự với tứ giác CEHD 

=> góc HDE = góc HCE 

Xét tứ giác BFEC có 

góc BFC = góc BEF = 90 

mà nó là 2 góc kề => tứ giác nội tiếp 

mà góc BEC = 1/2 sđ BC = 90 => SĐ BC = 180 => BC là đường kính mà I là trung điểm BC => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC 

=> góc FIE = góc FBE + góc FCE 

=> Góc FIE = góc FDH+góc HDE => góc FIE = góc FDE

mà nó là 2 góc kề => nội tiếp 

=> điều phải cm

Sửa đề: M đối xứng H qua BC

Gọi AD là đường kính, I là giao của HD và BC

góc ABD=1/2*sđ cung AD=90 độ

=>BD//CH

góc ACD=1/2*sđ cung AD=90 độ

=>CD//BH

mà BD//CH

nên BHCD là hình bình hành

=>BC căt HD tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm chung của HD và BC và BH//CD

góc AMD=1/2*sđ cung AD=90 độ

=>MD vuông góc AM

=>MD//BC

=>BCDM là hình thang cân

=>góc MBC=góc DCB=góc HBC

=>BC là phân giác của góc HBM

mà BC là trung tuyến của ΔHBM

nên ΔHMB cân tại B

=>BC là trug trực của MH

=>M đối xứng H qua BC