ĐKXĐ: \(1954\le x\le2014\)

y = \(\sqrt{x-1954}+\sqrt{2014-x}\ge\sqrt{x-1954+2014-x}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}\)

ĐTXR <=> (x-1954)(2014-x) = 0  <=>\(\orbr{\begin{cases}x=1954\\x=2014\end{cases}}\)

Vậy GTNN y = \(2\sqrt{15}\)khi x = 1954 hoặc x = 2014

y = \(\sqrt{x-1954}+\sqrt{2014-x}\le\sqrt{2\left(x-1954+2014-x\right)}=\sqrt{2\cdot60}=\sqrt{120}=2\sqrt{30}\)

ĐTXR <=> x - 1954 = 2014 - x <=> x = 1984 (thỏa ĐKXĐ)

Vậy GTLN y = \(2\sqrt{30}\)khi x=1984

Bài này áp dụng bất đẳng thức phụ: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\) (Dau "=" xay ra khi ab=0)

va bat dang thuc \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\le\sqrt{2\left(a+b\right)}\) (Dau "=" xay ra khi a=b)

Ở dưới chưa chứng minh bất đẳng thức nên chứng minh thêm nha, không được ghi thẳng như ở dưới

ĐKXĐ : \(-1\le x\le3\)

- ADbu nhi : \(\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(\left(\sqrt{x+1}\right)^2+\left(\sqrt{3-x}\right)^2\right)\)

\(=2\left(x+1+3-x\right)=2.4=8\)

\(\Rightarrow\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}\le\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)

- Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{3-x}}\)

\(\Leftrightarrow x+1=3-x\)

\(\Leftrightarrow x=1\left(TM\right)\)

\(\Rightarrow Max_{f\left(x\right)}=2\sqrt{2}\) tại x = 1.

- Có : \(\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}\ge\sqrt{x+1+3-x}=\sqrt{4}=2\)

- Dấu " = " xảy ra <=> x = -1 ( TM )

\(\Rightarrow Min_{f\left(x\right)}=2\) tại x = - 1 .

A, câu này trong đề thi thử vào cấp 3, trường Vinschool chứ gì??

ĐKXĐ \(3\ge x\ge2;4\ge y\ge3\)

\(A=\sqrt{x-2+y-3+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(y-3\right)}}=\sqrt{1+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(y-3\right)}}\ge\sqrt{1}=1\)

dấu "=" xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}x=2\\y=3\end{matrix}\right.\)

\(y=\sqrt{\frac{x^2}{4}+\sqrt{x^2-4}}+\sqrt{\frac{x^2}{4}-\sqrt{x^2-4}}\) Điều kiện: \(x\ge2\)

\(\Rightarrow2y=2.\sqrt{\frac{x^2}{4}+\sqrt{x^2-4}}+2.\sqrt{\frac{x^2}{4}-\sqrt{x^2-4}}\)

\(=\sqrt{x^2+4\sqrt{x^2-4}}+\sqrt{x^2-4\sqrt{x^2-4}}\)

\(=\sqrt{x^2-4+4\sqrt{x^2-4}+4}+\sqrt{x^2-4-4\sqrt{x^2-4}+4}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{x^2-4}+2\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x^2-4}-2\right)^2}\)

\(=\left|\sqrt{x^2-4}+2\right|+\left|\sqrt{x^2-4}-2\right|\)

\(=\sqrt{x^2-4}+2+\left|\sqrt{x^2-4}-2\right|\)(1)

TH1: \(\sqrt{x^2-4}-2\ge0\Rightarrow\sqrt{x^2-4}\ge2\Rightarrow x^2-4\ge4\Rightarrow x\ge2\sqrt{2}\).Ta có:

\(\left(1\right)=\sqrt{x^2-4}+2+\sqrt{x^2-4}-2=2\sqrt{x^2-4}\)

Do \(x\ge2\sqrt{2}\Rightarrow2\sqrt{x^2-4}\ge2\sqrt{\left(2\sqrt{2}\right)^2-4}=4\)

TH2:  \(\sqrt{x^2-4}-2< 0\Rightarrow\sqrt{x^2-4}< 2\Rightarrow x^2-4< 4\Rightarrow x^2< 8\Rightarrow2\le x< 2\sqrt{2}\).Ta có:

\(\left(1\right)=\sqrt{x^2-4}+2-\sqrt{x^2-4}+2=4\)

Vậy GTNN của y bằng 4.

Dấu "=" xảy ra khi \(2\le x\le2\sqrt{2}\)

Bài 3:

Có:\(6=\frac{\left(\sqrt{2}\right)^2}{x}+\frac{\left(\sqrt{3}\right)^2}{y}\ge\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2}{x+y}\Rightarrow x+y\ge\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\)

True?

khó quá đây là toán lớp mấy

Bài 2: Thực sự không chắc lắm về cách này

\(y=\frac{x^2}{x^2-5x+7}\Rightarrow x^2\left(y-1\right)-5yx+7y=0\)

Coi pt trên là pt bậc 2 ẩn x, dùng điều kiện có nghiệm của pt bậc 2 ta có \(\Delta=25y^2-28y\left(y-1\right)=28y-3y^2\ge0\Leftrightarrow28y\ge3y^2\)

Xét y âm, chia 2 vế của bất đẳng thức cho y âm ta được \(y\ge\frac{28}{3}\)không thỏa

Xét y dương ta thu được \(y\le\frac{28}{3}\), cái này thì em không không biết có nghiệm x không nhờ mọi người kiểm tra dùm

Vậy Maxy=28/3 còn Miny=0 (cái min thì dễ hà )

a) Do \(-1\le sinx\le1,\forall x\in R\).
Nên giá trị lớn nhất của \(y=3-4sinx\) bằng \(3-4.\left(-1\right)=7\)khi \(sinx=-1\)\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{2}+k\pi\).
Giá trị nhỏ nhất của \(y=3-4sinx\) bằng \(3-4.1=-1\) đạt được khi \(sinx=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\).

b) \(y=2-\sqrt{cosx}\) xác định khi \(0\le cosx\le1\) .
Giá trị lớn nhất của \(y=2-\sqrt{cosx}=2-\sqrt{0}=2\) khi \(cosx=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\).
Giá trị nhỏ nhất của \(y=2-\sqrt{cosx}=2-\sqrt{1}=1\) khi \(cosx=1\Leftrightarrow x=k2\pi\).

\(y=2cos^2x-2\sqrt{3}sinx.cosx+1\)

\(=2cos^2x-1-2\sqrt{3}sinx.cosx+2\)

\(=cos2x-\sqrt{3}sin2x+2\)

\(=2\left(\dfrac{1}{2}cos2x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}sin2x\right)+2\)

\(=2cos\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)+2\)

Ta có: \(cos\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)\in\left[-1;1\right]\)

\(\Rightarrow min=0\Leftrightarrow cos\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)=-1\Leftrightarrow2x+\dfrac{\pi}{3}=\pi+k2\pi\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi\)

\(\Rightarrow max=4\Leftrightarrow cos\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)=1\Leftrightarrow2x+\dfrac{\pi}{3}=k2\pi\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k\pi}{2}\)

\(y=2cos^2x-\sqrt{3}sin2x+1=cos2x-\sqrt{3}sin2x+2\)

\(y=2.cos\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)+2\)

\(\forall x\in R->-1\le cos\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)\)

=> \(Min_y=2.\left(-1\right)+2=0\) 

Mặt khác, theo Bunhiacopxki:

\(\left(cos2x+\sqrt{3}sin2x\right)^2\le\left(1^2+\sqrt{3}^2\right)\left(cos^22x+sin^22x\right)=4\)

=>\(Max_y=4\)