a)

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+x+5< 0\\x^2-6x+1>0\end{matrix}\right.\)

\(\)Ta có

\(x^2+x+5=\left(x^2+x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{19}{4}=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{19}{4}\ge\dfrac{19}{4}>0\)

=> Bất phương trình đàu tiên sai, hệ bất phương trình sai

b)

\(\left\{{}\begin{matrix}2x^2+x-6>0\\3x^2-10x+3\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2x-3\right)\left(x+2\right)>0\\\left(x-3\right)\left(3x-1\right)\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x>2\\x< -3\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}x\le-\dfrac{1}{3}\\x\ge3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(x^2-2x< 0\Leftrightarrow0< x< 2\) \(\Rightarrow D_1=\left(0;2\right)\)

Xét \(f\left(x\right)=x^2+2\left(m-1\right)x+m^2\ge0\) (1)

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-m^2=1-2m\)

- Với \(\Delta'\le0\Leftrightarrow m\ge\dfrac{1}{2}\) thì (1) luôn đúng \(\Leftrightarrow\) hệ có nghiệm

- Với \(m< \dfrac{1}{2}\) \(\Rightarrow\) gọi 2 nghiệm của (1) là \(x_1< x_2\) \(\Rightarrow D_2=(-\infty;x_1]\cup[x_2;+\infty)\)

Để hệ vô nghiệm \(\Leftrightarrow D_1\cap D_2=\varnothing\) \(\Leftrightarrow x_1\le0< 2\le x_2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(0\right)\le0\\f\left(2\right)\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2\le0\\4+4\left(m-1\right)+m^2\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=0\\m^2+4m\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m=0\)

\(\Rightarrow\) Hệ có nghiệm khi \(m\ne0\)

Vậy 

a)

\(\left\{\begin{matrix} 2x^2+9x+7>0\\ x^2+x-6< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+1)(2x+7)>0\\ (x-2)(x+3)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} x>-1\\ x< \frac{-7}{2}\end{matrix}\right.\\ -3< x< 2\end{matrix}\right.\Rightarrow -1< x< 2\)

b) \(\left\{\begin{matrix} 2x^2+x-6>0\\ 3x^2-10x+3\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (2x-3)(x+2)>0\\ (x-3)(3x-1)\geq 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} x>\frac{3}{2}\\ x< -2\end{matrix}\right.\\ \left[\begin{matrix} x\geq 3\\ x\leq \frac{1}{3}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x\geq 3\\ x< -2\end{matrix}\right.\)

c)

\(\left\{\begin{matrix} -x^2+4x-7< 0\\ x^2-2x-1\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2-4x+7>0\\ x^2-2x+1\geq 2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-2)^2+3>0\\ (x-1)^2-2\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow (x-1)^2-2\geq 0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x-1\geq \sqrt{2}\\ x-1\leq -\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x\geq \sqrt{2}+1\\ x\leq 1-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

d)

\(\left\{\begin{matrix} -2x^2-5x+4< 0\\ -x^2-3x+10>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x^2+5x-4>0\\ (2-x)(x+5)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2(x+\frac{5}{4})^2-\frac{57}{8}>0\\ (2-x)(x+5)>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+\frac{5}{4}-\frac{\sqrt{57}}{4})(x+\frac{5}{4}+\frac{\sqrt{57}}{4})>0\\ (2-x)(x+5)>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} x>\frac{-5+\sqrt{57}}{4}\\ x< \frac{-5-\sqrt{57}}{4}\end{matrix}\right.\\ -5< x< 2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \left[\begin{matrix} -5< x< \frac{-5-\sqrt{57}}{4}\\ \frac{\sqrt{57}-5}{4}< x< 2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-2m+\frac{1}{2}\\x\le3m-2\end{matrix}\right.\)

Để hệ đã cho có nghiệm

\(\Leftrightarrow-2m+\frac{1}{2}\le3m-2\)

\(\Leftrightarrow5m\ge\frac{5}{2}\Rightarrow m\ge\frac{1}{2}\)

Lời giải:

Nếu $x=-2$ thì HBPT $\Leftrightarrow $m\geq -2$

Nếu $x\neq -2$ thì HBPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+1\geq 0\\ x\leq m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x\geq -1\\ x\leq m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow -1\leq x\leq m(*)\).

Giả sử $m>-1$ thì HBPT có vô số nghiệm thực $x$

Giả sử $m< -1$ thì $(*)$ vô lý nên HBPT chỉ có thể nhận nhiều nhất 1 nghiệm $x=-2$

Giả sử $m=-1$ thì $(*)$ có nghiệm $x=-1$. Tổng kết lại HBPT có 2 nghiệm $x=-1$ và $x=-2$

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+m-3\ge0\\2x\ge8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+m-3\ge4+m-3\ge0\\x\ge4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge-1\\x\ge4\end{matrix}\right.\)