Lời giải:

Đặt \(\sqrt{6x-1}=a;\sqrt{9x^2-1}=b\). Khi đó :

\(6x-9x^2=a^2-b^2\)

PT tương đương:

\(a+b=a^2-b^2\)

\(\Leftrightarrow (a+b)[1-(a-b)]=0\)

\(\Leftrightarrow \) \(\left[{}\begin{matrix}a+b=0\\a-b=1\end{matrix}\right.\)

+) Nếu \(a+b=0\Leftrightarrow \sqrt {6x-1}+\sqrt{9x^2-1}=0\)

Vì \(\sqrt{6x-1}\geq 0; \sqrt{9x^2-1}\geq 0\) nên điều trên xảy ra khi mà

\(\sqrt{6x-1}=\sqrt{9x^2-1}=0\) (vô lý)

+) Nếu \(a-b=1\Leftrightarrow \sqrt{6x-1}-\sqrt{9x^2-1}=1\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{6x-1}=\sqrt{9x^2-1}+1\)

\(\Leftrightarrow 6x-1=9x^2-1+1+2\sqrt{9x^2-1}\)

\(\Leftrightarrow 9x^2-6x+1+2\sqrt{9x^2-1}=0\)

\(\Leftrightarrow (3x-1)^2+2\sqrt{(3x-1)(3x+1)}=0\)

Vì \((3x-1)^2\geq 0; \sqrt{(3x-1)(3x+1)}\geq 0\) nên điều trên xảy ra khi mà:

\((3x-1)^2=\sqrt{(3x-1)(3x+1)}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\)

Thử lại thấy đúng.

Vậy \(x=\frac{1}{3}\)

Lời giải:

ĐKXĐ: \(x\geq \frac{1}{3}\)

Đặt \(\sqrt{6x-1}=a; \sqrt{9x^2-1}=b(a.b\geq 0)\). Khi đó, PT đã cho trở thành:

\(a+b=a^2-b^2\)

\(\Leftrightarrow a+b=(a-b)(a+b)\)

\(\Leftrightarrow (a+b)(a-b-1)=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} a+b=0\\ a=b+1\end{matrix}\right.\)

Nếu $a+b=0$. Do $a,b\geq 0$ nên $a=b=0$

\(\Leftrightarrow \sqrt{6x-1}=\sqrt{9x^2-1}=0\) (vô lý)

Nếu \(a=b+1\Leftrightarrow \sqrt{6x-1}=\sqrt{9x^2-1}+1\)

\(\Rightarrow 6x-1=9x^2+2\sqrt{9x^2-1}\) (bình phương 2 vế)

\(\Leftrightarrow (3x-1)^2+2\sqrt{9x^2-1}=0\)

Vì $(3x-1)^2; \sqrt{9x^2-1}\geq 0$ nên để điều trên xảy ra thì \((3x-1)^2=\sqrt{9x^2-1}=0\Rightarrow x=\frac{1}{3}\) (thỏa mãn)

Vậy........

Lời giải:

ĐKXĐ: \(x\geq \frac{1}{3}\)

Đặt \(\sqrt{6x-1}=a; \sqrt{9x^2-1}=b(a.b\geq 0)\). Khi đó, PT đã cho trở thành:

\(a+b=a^2-b^2\)

\(\Leftrightarrow a+b=(a-b)(a+b)\)

\(\Leftrightarrow (a+b)(a-b-1)=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} a+b=0\\ a=b+1\end{matrix}\right.\)

Nếu $a+b=0$. Do $a,b\geq 0$ nên $a=b=0$

\(\Leftrightarrow \sqrt{6x-1}=\sqrt{9x^2-1}=0\) (vô lý)

Nếu \(a=b+1\Leftrightarrow \sqrt{6x-1}=\sqrt{9x^2-1}+1\)

\(\Rightarrow 6x-1=9x^2+2\sqrt{9x^2-1}\)\(\Rightarrow 6x-1=9x^2+2\sqrt{9x^2-1}\) (bình phương 2 vế)

\(\Leftrightarrow (3x-1)^2+2\sqrt{9x^2-1}=0\)

Vì $(3x-1)^2; \sqrt{9x^2-1}\geq 0$ nên để điều trên xảy ra thì \((3x-1)^2=\sqrt{9x^2-1}=0\Rightarrow x=\frac{1}{3}\) (thỏa mãn)

Vậy........

Cách khác:

Với ĐKXĐ \(x\geq \frac{1}{3}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{6x-1}\geq \sqrt{6.\frac{1}{3}-1}=1\\ \sqrt{9x^2-1}\geq 0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \sqrt{6x-1}+\sqrt{9x^2-1}\geq 1\)

Mặt khác:

\(6x-9x^2=1-(9x^2-6x+1)=1-(3x-1)^2\leq 1, \forall x\geq \frac{1}{3}\)

Do đó:

\(\sqrt{6x-1}+\sqrt{9x^2-1}\geq 1\geq 6x-9x^2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{6x-1}+\sqrt{9x^2-1}=1=6x-9x^2\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\)

\(P=\sqrt[]{9x^2-6x+1}+\sqrt[]{25-30x+9x^2}\)

\(\Leftrightarrow P=\sqrt[]{\left(3x-1\right)^2}+\sqrt[]{\left(5-3x\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow P=\left|3x-1\right|+\left|5-3x\right|\)

\(\Leftrightarrow P=\left|3x-1\right|+\left|5-3x\right|\ge\left|3x-1+5-3x\right|=4\)

Vậy \(GTNN\left(P\right)=4\)

P = 4

a) \(\sqrt{1-6x+9x^2}=9\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(1-3x\right)^2}=9\)

\(\Leftrightarrow\left|1-3x\right|=9\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}1-3x=9\\1-3x=-9\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x=1-9\\3x=1+9\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x=-8\\3x=10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{8}{3}\\x=\dfrac{10}{3}\end{matrix}\right.\)

b) \(\sqrt{2x-3}-\sqrt{x+1}=0\) (\(x\ge\dfrac{3}{2}\))

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x-3}=\sqrt{x+1}\)

\(\Leftrightarrow2x-3=x+1\)

\(\Leftrightarrow2x-x=1+3\)

\(\Leftrightarrow x=4\left(tm\right)\)

c) \(\sqrt{9x^2+12+4}-2=3x\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(3x+2\right)^2}=3x+2\)

\(\Leftrightarrow\left|3x+2\right|=3x+2\)

\(\Leftrightarrow3x+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow3x\ge-2\)

\(\Leftrightarrow x\ge-\dfrac{2}{3}\)

a: =>|3x-1|=9

=>3x-1=9 hoặc 3x-1=-9

=>x=-8/3 hoặc x=10/3

b: =>căn 2x-3=căn x+1

=>2x-3=x+1

=>x=4

c: =>|3x+2|=3x+2

=>3x+2>=0

=>x>=-2/3

ĐKXĐ: \(\frac{1}{3}\le x\le\frac{2}{3}\)

Đặt: \(\sqrt{6x-1}=a;\sqrt{9x^2-1}=b\)(a, b ≥0) ta có:

\(a+b=a^2-b^2\Rightarrow a+b=\left(a+b\right)\left(a-b\right)\)

⇒ \(\left(a+b\right)\left(a-b-1\right)=0\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}a=-b\\a=b+1\end{matrix}\right.\)

✘Với \(a=-b\) thì \(a=b=0\) ⇔ Không tìm được x thỏa mãn

✔Với \(a=b+1\) ⇔ \(\sqrt{6x-1}=\sqrt{9x^2-1}+1\)

⇔ \(6x-1=9x^2+2\sqrt{9x^2-1}\)

⇔ \(\left(3x-1\right)^2=-2\sqrt{9x^2-1}\) (1)

Vế trái của (1) ≥ 0; Vế phải của (1) ≤ 0

⇔ Cả hai vế = 0. Dấu "=" xảy ra khi \(x=\frac{1}{3}\) (t/m ĐKXĐ)

Vậy \(x=\frac{1}{3}\)

a) \(\sqrt{2-x^2+2x}+\sqrt{-x^2-6x-8}=1+\sqrt{3}\)

\(pt\Leftrightarrow\sqrt{-x^2+2x+1+1}+\sqrt{-x^2-6x-9+1}=1+\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{-\left(x-1\right)^2+1}+\sqrt{-\left(x+3\right)^2+1}=1+\sqrt{3}\)

Dễ thấy: \(VT\le2< 1+\sqrt{3}=VP\) (vô nghiệm)

b)\(\sqrt{9x^2-6x+2}+\sqrt{45x^2-30x+9}=\sqrt{6x-9x^2+8}\)

\(pt\Leftrightarrow\sqrt{9x^2-6x+1+1}+\sqrt{45x^2-30x+5+4}=\sqrt{-9x^2+6x-1+9}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(3x-1\right)^2+1}+\sqrt{5\left(3x-1\right)^2+4}=\sqrt{-\left(3x-1\right)^2+9}\)

Dễ thấy: \(VT\ge1+\sqrt{4}=3=VP\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=\dfrac{1}{3}\)