Cho \(a,b,c,d\in R^+\) thỏa mãn \(abc+bcd+cda+dab=1\).
Tìm min \(P=4\cdot\left(a^3+b^3+c^3\right)+9d^3\)
Giả sử a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn: abc + bcd + cda + adb = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(A=4\left(a^3+b^3+c^3\right)+9d^3\)
Chuyên KHTN 2014
bài này thuộc hàng cân = hệ số khủng
Do vai trò của a, b, c như nhau nên ta có thể dự đoán dấu bằng xảy ra tại \(a=b=c=dk\) với k dương
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các bộ ba số dương ta được
\(\frac{1}{k^2}\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\frac{3abc}{k^2}\)(*) ; \(\frac{a^3}{k^3}+\frac{b^3}{k^3}+d^3\ge\frac{3adb}{k^2}\)(**) ; \(\frac{b^3}{k^3}+\frac{c^3}{k^3}+d^3\ge\frac{3bcd}{k^2}\)(***) ;\(\frac{c^3}{k^3}+\frac{a^3}{k^3}+d^3\ge\frac{3cda}{k^2}\)(****)
Cộng theo vế 4 bất đẳng thức (*), (**), (***), (****), ta được: \(\left(\frac{1}{k^2}+\frac{2}{k^3}\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)+3d^3\ge\frac{3\left(abc+bcd+cda+dab\right)}{k^2}=\frac{3}{k^2}\)
Hay \(\left(\frac{3}{k^2}+\frac{6}{k^3}\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)+9d^3\ge\frac{9}{k^2}\)
Ta cần tìm k để \(\frac{3}{k^2}+\frac{6}{k^3}=4\Leftrightarrow4k^3-3k-6=0\)và ta chọn k là số dương
Đặt \(k=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)^2\)thay vào phương trình trên và biến đổi ta thu được \(x^6-12x^3+1=0\)
Giải phương trình này ta được \(x=\sqrt[3]{6\pm\sqrt{35}}\), để ý \(\left(6+\sqrt{35}\right)\left(6-\sqrt{35}\right)=1\)nên ta tính được \(k=\frac{\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}}{2}\)
Do đó ta tính được giá trị nhỏ nhất của P là \(\frac{36}{\left(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}\right)^2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}}{2}d\)
1. cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn abc=1 . CMR:
\(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\frac{3}{2}\)
2. tìm GTLN của biểu thức: \(N=\frac{a}{bcd+1}+\frac{b}{cda+1}+\frac{c}{dab+1}+\frac{d}{abc+1}\)
cho a,b,c >0 và abc+bcd+cda+dab=4. Tìm min của
P=\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{c+d}\)+\(\dfrac{\left(a+c\right)^2}{b+d}\)+3(d-a)
Gỉa sử a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc+bcd+cda+dab=1. Tìm GTNN của biểu thức P=4(a3+b3+c3)+9d3
Giả sử a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc + bcd + cda + dab = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 4(a3 + b3 + c3) + 9d3
Cho a,b,c,d>0
\(16\left(abc+bcd+cda+dab\right)\le\left(a+b+c+d\right)^3\)
Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn điều kiện \(abc+bcd+cda+dab=a+b+c+d+\sqrt{2016}\)
Chứng minh rằng: \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\left(d^2+1\right)\ge2016\)
Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: \(abc+bcd+cad+bad=1\)
Tìm GTNN của:\(P=4\left(a^3+b^3+c^3\right)+9d^3\)
Giải:
Trước hết ta chứng minh \(\forall x,y,z\ge0\) ta có: \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\left(1\right)\)
Do vai trò \(a,b,c\) như nhau nên giả sử \(a=b=c=kd\)
Khi đó áp dụng \(\left(1\right)\) ta có:
\(\frac{1}{k^2}\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\frac{3abc}{k^2}\)
\(d^3+\frac{a^3}{k^3}+\frac{b^3}{k^3}\ge\frac{3dab}{k^2}\)
\(d^3+\frac{b^3}{k^3}+\frac{c^3}{k^3}\ge\frac{3bdc}{k^2}\)
\(d^3+\frac{c^3}{k^3}+\frac{a^3}{k^3}\ge\frac{3dca}{k^2}\)
\(\Rightarrow3d^3+\left(\frac{2}{k^3}+\frac{1}{k^2}\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\frac{3}{k^2}\left(abc+bcd+cda+dab\right)\)
\(\Rightarrow9d^3+3\left(\frac{2}{k^3}+\frac{1}{k^2}\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\frac{9}{k^2}.\)
Vậy ta tìm \(k\) thỏa mãn \(\Rightarrow3\left(\frac{2}{k^3}+\frac{1}{k^2}\right)=4\Rightarrow4k^3-3k-6=0\)
Đặt \(k=\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)^2\) ta có:
\(k=\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)^3-\frac{3}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)=6\)
\(\Leftrightarrow x^6-12x^3+1=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}\\x=\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(6-\sqrt{35}\right)\left(6+\sqrt{35}\right)=1\Rightarrow k=\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}\right)\)
Với \(k\) xác định như trên ta tìm được:
\(P_{min}=\frac{9}{k^2}=\frac{36}{\left(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}\right)^2}\)
bài này mk có cách làm r` mà hơi ngu mà hơi là ko dc làm gì phải dứt khoát chờ mk tìm cách ngu hơn
gghfdfghghhfh78458
cho 4 số a,b,c,d thỏa mãn: abcd=4. tính giá trị biểu thức:
M=a/abc+ab+a+1 + b/ bcd+bc+b+1 +c/cda+cd+c+1 +d/dab+da+d+abc+1