PT hoành độ giao điểm: \(2x^2=-2mx+m+1\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2mx-\left(m+1\right)=0\)

Vì (P) cắt (d) tại 2 điểm phân biệt nên \(\Delta'=m^2+2\left(m+1\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2>0\left(\text{đúng với mọi }m\ne-1\right)\)

Áp dụng Viét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{2m}{2}=-m\\x_1x_2=\dfrac{-\left(m+1\right)}{2}\end{matrix}\right.\)

Ta có \(\dfrac{1}{\left(2x_1-1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(2x_2-1\right)^2}=2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4x_2^2-4x_2+1+4x_1^2-4x_1+1}{\left[\left(2x_1-1\right)\left(2x_2-1\right)\right]^2}=2\\ \Leftrightarrow4\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]-4\left(x_1+x_2\right)+2=2\left[4x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)+1\right]^2\\ \Leftrightarrow4\left(m^2+m+1\right)+4m=2\left(-2m-2+2m+1\right)^2\\ \Leftrightarrow4m^2+4m+4+4m=2\\ \Leftrightarrow2m^2+4m+1=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{-2+\sqrt{2}}{2}\left(tm\right)\\m=\dfrac{-2-\sqrt{2}}{2}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(\left(d_1\right):2x-y=-1.\Leftrightarrow2x+1=y.\\ \left(d_2\right):x+2y=12.\Leftrightarrow-\dfrac{1}{2}x+6=y.\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(d_1\right);\left(d_2\right):\)

\(2x+1=\dfrac{-1}{2}x+6.\\ \Leftrightarrow\dfrac{5}{2}x=5.\\ \Leftrightarrow x=2.\)

\(\Rightarrow y=5.\)

Thay \(x=2;y=5\) vào \(\left(d\right):\)

\(2m+1=5.\\ \Leftrightarrow m=2.\)

Vậy \(m=2\) thì \(\left(d\right);\left(d_1\right);\left(d_2\right)\) đồng quy tại 1 điểm.

Lời giải:

PT hoành độ giao điểm:

\(x^2-(2x-m+3)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+m-3=0(*)\)

Để hai đths cắt nhau tại hai điểm pb thì $(*)$ phải có 2 nghiệm phân biệt.

\(\Leftrightarrow \Delta'=1-(m-3)>0\Leftrightarrow m < 4\)

Áp dụng định lý Viete: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2\\ x_1x_2=m-3\end{matrix}\right.\)

Khi đó: \(x_1^2-2x_2+x_1x_2=-12\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+2x_1-2(x_1+x_2)+x_1x_2=-12\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+2x_1-4+m-3=-12\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+2x_1+m+5=0\)

Kết hợp với \(x_1^2-2x_1+m-3=0\)

Suy ra: \(4x_1+8=0\Rightarrow x_1=-2\Rightarrow x_2=4\)

\(\Rightarrow x_1x_2=-8\Leftrightarrow m-3=-8\Leftrightarrow m=-5\) (thỏa mãn)

Vậy.............

PTHĐGĐ là:

x^2-2mx+m-2=0

Δ=(-2m)^2-4(m-2)

=4m^2-4m+8

=(2m-1)^2+7>=7>0 với mọi m

=>Phuong trình luôn có hai nghiệm phân biệt

4(x1+x2)+y1+y2=1

=>4*2m+x1^2+x2^2=1

=>(x1+x2)^2-2x1x2+8m=1

=>(2m)^2-2(m-2)+8m-1=0

=>4m^2-2m+4+8m-1=0

=>4m^2+6m+3=0

=>\(m\in\varnothing\)

1a, hoành độ giao điểm của P và d là no pt:

1/2x^2=mx-m+1

ta có: đenta=(-m)^2-4*1/2*(m-1)

                  = m^2-2m+2

để P cắt d tại 2 điểm thì denta lớn hơn hoặc =0

hay m^2-2m+2 lớn hơn hoặc =0

(m-1)^2+1>hoặc =0( luôn đúng)

vậy với mọi m thì d vắt P tại 2 điểm

Phương trình hoành độ giao điểm: \(x^2-2x+m-5=0\)

\(\Delta'=1-m+5=6-m>0\Rightarrow m< 6\)

Do \(x_1\) là nghiệm của pt nên \(x_1^2-2x_1+m-5=0\Leftrightarrow x_1^2=2x_1-m+5\)

Thay vào bài toán:

\(x_1^2+2x_2< 6\Leftrightarrow2x_1-m+5+2x_2< 6\)

\(\Leftrightarrow2\left(x_1+x_2\right)< m+1\)

\(\Leftrightarrow4< m+1\Rightarrow m>3\)

Vậy \(3< m< 6\)

Trả lời: 

Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d) ta có:

\(-x^2=2x+m-1\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x+m-1=0\)(1)

Ta có: \(\Delta=2^2-4.1.\left(m-1\right)\)

              \(=4-4m+4\)

               \(=8-4m\)

Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta>0\)

                                                                \(\Leftrightarrow8-4m>0\)

                                                                \(\Leftrightarrow4m< 8\)

                                                                 \(\Leftrightarrow m< 2\)

\(\Rightarrow\)Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt 

\(\Rightarrow\)(d) cắt (P) tại 2 diểm phân biệt \(A\left(x_1,y_1\right);B\left(x_2,y_2\right)\)

Áp dụng Vi-ét \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-2\left(1\right)\\x_1.x_2=m-1\left(2\right)\end{cases}}\)

Ta có \(y_1=-x_1^2\); \(y_2=-x_2^2\)

Theo đề bài:

\(x_1.y_1-x_2.y_2-x_1.x_2=4\)

\(\Leftrightarrow x_1.\left(-x_1^2\right)-x_2.\left(-x_2^2\right)-x_1.x_2=4\)

\(\Leftrightarrow-x_1^3+x_2^3-x_1.x_2=4\)

\(\Leftrightarrow-\left(x_1^3-x_2^3\right)-\left(m-1\right)=4\)

\(\Leftrightarrow-\left(x_1-x_2\right).\left(x_1^2+x_1.x_2+x_2^2\right)-\left(m-1\right)=4\)

\(\Leftrightarrow-\left(x_1-x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2+x_1.x_2\right]-\left(m-1\right)=4\)

\(\Leftrightarrow-\left(x_1-x_2\right).\left[\left(x_1+x_2\right)^2-x_1.x_2\right]-\left(m-1\right)=4\)

\(\Leftrightarrow-\left(x_1-x_2\right).\left[\left(-2\right)^2-m+1\right]-\left(m-1\right)=4\)

\(\Leftrightarrow-\left(x_1-x_2\right).\left(4-m+1\right)=4+m-1\)

\(\Leftrightarrow-\left(x_1-x_2\right).\left(3-m\right)=m+3\)

\(\Leftrightarrow-\left(x_1-x_2\right)=\frac{m+3}{3-m}\)

\(\Leftrightarrow x_1-x_2=\frac{m+3}{m-3}\)(3)

Từ (1) (3) ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-2\\x_1-x_2=\frac{m+3}{m-3}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x_1=-2+\frac{m+3}{m-3}=\frac{9-m}{m-3}=-\left(m+3\right)\\x_1+x_2=-2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_1=\frac{-\left(m+3\right)}{2}\\x_2=\frac{m-1}{2}\end{cases}}\)

Thay x1, x2 vào (2) ta có

\(x_1.x_2=m-1\)

\(\Leftrightarrow\frac{-\left(m+3\right)}{2}.\frac{m-1}{2}=m-1\)

\(\Leftrightarrow\frac{-\left(m+3\right)}{2}=2\)

\(\Leftrightarrow-\left(m+3\right)=4\)

\(\Leftrightarrow m+3=-4\)

\(\Leftrightarrow m=-7\)(TM)

Vậy \(m=-7\) thì thỏa mãn bài toán