\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x}+\sqrt{3-y}=m\left(1\right)\\\sqrt{2y}+\sqrt{3-x}=m\left(2\right)\end{matrix}\right.\) \(\left(0\le x,y\le3\right)\)

\(\left(1\right)-\left(2\right)\Leftrightarrow\sqrt{2x}-\sqrt{2y}+\sqrt{3-y}-\sqrt{3-x}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2x-2y}{\sqrt{2x}+\sqrt{2y}}+\dfrac{3-y-3+x}{\sqrt{3-y}+\sqrt{3-x}}=0\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(\dfrac{2}{\sqrt{2x}+\sqrt{2y}}+\dfrac{1}{\sqrt{3-y}+\sqrt{3-x}}\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\left(3\right)\\\dfrac{2}{\sqrt{2x}+\sqrt{2y}}+\dfrac{1}{\sqrt{3-y}+\sqrt{3-x}}=0\left(vô-nghiệm\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)và\left(3\right)\Rightarrow\sqrt{2x}+\sqrt{3-x}=m\)

\(m^2=x+3+2\sqrt{2x\left(3-x\right)}\ge3\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge\sqrt{3}\\m\le-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)\(\left(4\right)\)

\(m\le\sqrt{3\left(x+3-x\right)}=3\left(5\right)\)

\(\left(4\right)\left(5\right)\Rightarrow\sqrt{3}\le m\le3\Rightarrow m=\left\{2;3\right\}\)

Trừ vế cho vế:

\(\sqrt{2x}-\sqrt{2y}+\sqrt{3-y}-\sqrt{3-x}=0\)

\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{2}\left(x-y\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\dfrac{x-y}{\sqrt{3-y}+\sqrt{3-x}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{3-y}+\sqrt{3-x}}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=y\)

Thế vào pt đầu:

\(\sqrt{2x}+\sqrt{3-x}=m\)

Ta có: \(\sqrt{2.x}+\sqrt{1.\left(3-x\right)}\le\sqrt{\left(2+1\right)\left(x+3-x\right)}=3\)

\(\sqrt{2x}+\sqrt{3-x}=\sqrt{x}+\sqrt{3-x}+\left(\sqrt{2}-1\right)\sqrt{x}\ge\sqrt{x+3-x}+\left(\sqrt{2}-1\right)\sqrt{x}\ge\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow\sqrt{3}\le m\le3\Rightarrow m=\left\{2;3\right\}\)

Δ=(-5)^2-4(m+1)=25-4m-4=-4m+21

Để PT có 2 nghiệm pb thì -4m+21>0

=>m<21/4

x1+x2=5

=>x2=5-x1

2x1=căn x2

=>4x1^2=x2

=>4x1^2=5-x1

=>4x1^2+x1-5=0

=>x1=1(nhận) hoặc x1=-5/4(loại)

=>x2=4

x1x2=m+1

=>m+1=4

=>m=3

Đặt \(-x^2+2x=t\Rightarrow0\le t\le1\)

\(\Rightarrow-t^2+t-3+m=0\)

\(\Leftrightarrow t^2-t+3=m\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=t^2-t+3\) trên \(\left[0;1\right]\)

\(-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{1}{2}\in\left[0;1\right]\)

\(f\left(0\right)=3\) ; \(f\left(1\right)=3\) ; \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{11}{4}\)

\(\Rightarrow\dfrac{11}{4}\le f\left(t\right)\le3\)

\(\Rightarrow\) Pt có nghiệm khi và chỉ khi \(\dfrac{11}{4}\le m\le3\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3.2^xlogx-12logx-2^x+4=0\left(1\right)\\5^x=m\left(2\right)\end{matrix}\right.\) và \(5^x\ge m\) (\(x>0\))

Xét (1):

\(\Leftrightarrow3logx\left(2^x-4\right)-\left(2^x-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3logx-1\right)\left(2^x-4\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=2\\x_2=\sqrt[3]{10}\end{matrix}\right.\)

\(y=5^x\) đồng biến trên R nên (2) có tối đa 1 nghiệm

 Để pt đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt  ta có các TH sau:

TH1: (2) vô nghiệm \(\Rightarrow m\le0\) (ko có số nguyên dương nào)

TH2: (2) có nghiệm (khác với 2 nghiệm của (1)), đồng thời giá trị của m khiến cho đúng 1 nghiệm của (1) nằm ngoài miền xác định

(2) có nghiệm \(\Rightarrow m>0\Rightarrow x_3=log_5m\)

Do \(\sqrt[3]{10}>2\) nên bài toán thỏa mãn khi: \(x_1< x_3< x_2\)

\(\Rightarrow2< log_5m< \sqrt[3]{10}\)

\(\Rightarrow25< m< 5^{\sqrt[3]{10}}\) (hơn 32 chút xíu)

\(\Rightarrow\) \(32-26+1\) giá trị nguyên

giúp với mn ơi

ĐKXĐ: \(-1\le x\le1\)

Đặt \(\sqrt{1-x^2}=t\Rightarrow0\le t\le1\)

\(\Rightarrow x^2=1-t^2\)

Phương trình trở thành: \(1-t^2+t=m\Leftrightarrow-t^2+t+1=m\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=-t^2+t+1\) trên \(\left[0;1\right]\)

\(-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{1}{2}\in\left[0;1\right]\)

\(f\left(0\right)=1\) ; \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{5}{4}\) ; \(f\left(1\right)=1\)

\(\Rightarrow1\le f\left(t\right)\le\dfrac{5}{4}\)

\(\Rightarrow\) Pt đã cho có nghiệm khi và chỉ khi \(1\le m\le\dfrac{5}{4}\Rightarrow S=\dfrac{9}{4}\)

Đáp án của toi:https://hoc24.vn/cau-hoi/tim-tat-ca-cac-gia-tri-cua-tham-so-m-de-bat-phuong-trinh-sau-co-nosqrt2xsqrt4-x-sqrt82x-x2le-m.920223129881

Đáp án của một bạn khác: https://hoc24.vn/cau-hoi/tim-tat-ca-cac-gia-tri-cua-tham-so-m-de-bat-phuong-trinh-sau-co-nosqrt2xsqrt4-x-sqrt82x-x2le-m.616555176629

ĐK: \(-2\le x\le4\)

Đặt \(\sqrt{2+x}+\sqrt{4-x}=t\left(\sqrt{6}\le t\le2\sqrt{3}\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{8+2x-x^2}=\dfrac{t^2-6}{2}\)

Bất phương trình tương đương:

\(t+\dfrac{t^2-6}{2}\le m\)

\(\Leftrightarrow f\left(t\right)=t^2+2t-6\le2m\)

Bất phương trình đã cho có nghiệm khi \(2m\ge minf\left(t\right)=f\left(\sqrt{6}\right)=2\sqrt{6}\)

\(\Leftrightarrow m\ge\sqrt{6}\)

Kết luận: \(m\ge\sqrt{6}\)

Đặt \(t=\sqrt{2+x}+\sqrt{4-x}\)  (\(t\in\left[\sqrt{6};2\sqrt{3}\right]\) )      

\(\Leftrightarrow t^2=6+2\sqrt{8+2x-x^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{t^2-6}{2}=\sqrt{8+2x-x^2}\)

Khi đó ta cần tìm m để bpt \(t-\dfrac{t^2-6}{2}\le m\) có nghiệm \(t\in\left[\sqrt{6};2\sqrt{3}\right]\)

\(\Leftrightarrow-t^2+2t+6-2m\le0\) có nghiệm  \(t\in\left[\sqrt{6};2\sqrt{3}\right]\)

Đặt \(f\left(t\right)=-t^2+2t+6-2m\) , \(t\in\left[\sqrt{6};2\sqrt{3}\right]\)

BBT 

TH1: \(maxf\left(t\right)\le0\) \(\Leftrightarrow f\left(1\right)\le0\) \(\Leftrightarrow7-2m\le0\) \(\Leftrightarrow m\ge\dfrac{7}{2}\)       (I)

TH2: \(maxf\left(t\right)>0\Leftrightarrow7-2m>0\Leftrightarrow m< \dfrac{7}{2}\)

Để \(f\left(t\right)\le0\) có nghiệm \(t\in\left[\sqrt{6};2\sqrt{3}\right]\)

 \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2\sqrt{6}-2m\le0\\2\sqrt{6}-2m>0\ge-6+4\sqrt{3}-2m\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge\sqrt{6}\\\sqrt{6}>m\ge-3+2\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

Kết hợp với đk ta có:\(\left[{}\begin{matrix}\dfrac{7}{2}>m\ge\sqrt{6}\\\sqrt{6}>m\ge-3+2\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)           (II)

Từ (I) (II) ta có: \(m\in\left[-3+2\sqrt{3};+\infty\right]\)