Cho \(x,y\ne0\)CM\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{x^2}{y^2}+4\ge\frac{3x}{y}+\frac{3y}{x}\)
Những câu hỏi liên quan
Cho các số thực x,y thỏa mãn x+y\(\ge\)4.Chứng minh
A=\(\frac{3x^2+4}{4x}\)+\(\frac{3y^2+2}{4y}\)\(\ge\)4
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(A=\frac{3}{4}x+\frac{1}{x}+\frac{3}{4}y+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}(x+y)+(\frac{x}{4}+\frac{1}{x})+(\frac{y}{4}+\frac{1}{y})\)
\(\geq \frac{1}{2}.4+2\sqrt{\frac{x}{4}.\frac{1}{x}}+2\sqrt{\frac{y}{4}.\frac{1}{y}}=4\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=2$
Đúng 0
Bình luận (1)
chứng minh các phân thức sau
a) \(\frac{3y}{4}=\frac{6xy}{8x}\left(x\ne0\right)\)
b)\(\frac{-3x^2}{2y}=\frac{3x^2}{-2y}\left(y\ne0\right)\)
c)\(\frac{2\left(x-y\right)}{3\left(y-x\right)}=\frac{-2}{3}\left(x\ne y\right)\)
a, Ta có : \(\frac{3y}{4}=\frac{3y}{4}.1=\frac{3y}{4}.\frac{2x}{2x}=\frac{6xy}{8x}\) ( đpcm )
b, Ta có : \(6x^2y=6x^2y\)
=> \(3x^2.2y=\left(-3x^2\right).\left(-2y\right)\)
=> \(\frac{-3x^2}{2y}=\frac{3x^2}{-2y}\) ( đpcm )
c, Ta có : \(6x-6y=6x-6y\)
=> \(6x-6y=-6y+6x\)
=> \(6\left(x-y\right)=-6\left(y-x\right)\)
=> \(2\left(x-y\right).3=-2\left(y-x\right).3\)
=> \(\frac{2\left(x-y\right)}{3\left(y-x\right)}=\frac{-2}{3}\) ( đpcm )
Cho các số thực x,y thỏa mãn \(x\ne y\) \(x\ne0\) \(y\ne0\) CMR \(\frac{1}{\left(x-y\right)^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{4}{xy}\)
Rút gọn
a) \(\frac{x}{y}\sqrt{\frac{y^2}{x^4}}\left(x\ne0;y>0\right)\) b) \(3x^2\sqrt{\frac{8}{x^2}}\left(x< 0\right)\) c) \(2x^3y^3\sqrt{\frac{4}{x^8y^6}}\left(x\ne0;y< 0\right)\)
d)\(\frac{\sqrt{4x^4y^6}}{\sqrt{196x^6y^6}}\left(x< 0;y\ne0\right)\)
a. Ta có:\(\frac{x}{y}\sqrt{\frac{y^2}{x^4}=}\) \(\frac{x}{y}.\frac{\left|y\right|}{x^2}=\frac{x.y}{x^2y}\)\(=\frac{1}{x}\)(Vì \(x\ne0;y>0\))
Đúng 0
Bình luận (0)
b \(3x^2\sqrt{\frac{8}{x^2}}=3x^2\frac{2\sqrt{2}}{\left|x\right|}=\frac{6x^2\sqrt{2}}{-x}=-6x\sqrt{2}\)( Vì \(x< 0\))
Đúng 0
Bình luận (0)
1. Cho a0,b0. C/m frac{a}{sqrt{b}}-sqrt{a}gesqrt{b}-frac{b}{sqrt{a}}2. Cho ane0,bne0. C/m a^4+b^4lefrac{a^6}{b^2}+frac{b^6}{a^2}3. C/m frac{x^2}{y^2}+frac{y^2}{z^2}+frac{z^2}{x^2}gefrac{x}{y}+frac{y}{z}+frac{z}{x}4. C/m frac{x^2+y^2}{2}geleft(frac{x+y}{2}right)^25. forall a,b0. C/m frac{a^3}{b}+b^3a^2+ab
Đọc tiếp
1. Cho \(a>0,b>0\). C/m \(\frac{a}{\sqrt{b}}-\sqrt{a}\ge\sqrt{b}-\frac{b}{\sqrt{a}}\)
2. Cho \(a\ne0,b\ne0\). C/m \(a^4+b^4\le\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\)
3. C/m \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\)
4. C/m \(\frac{x^2+y^2}{2}\ge\left(\frac{x+y}{2}\right)^2\)
5. \(\forall a,b>0\). C/m \(\frac{a^3}{b}+b^3>a^2+ab\)
1.a>0.√a
2.c/mb/z+x/y=a/b6
=x/y=y/x
4.xxy/2 2
5.a/b+ab=ab2
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh các đẳng thức sau:
a, \(\frac{3x}{x+y}=\frac{-3x\left(x-y\right)}{y^2-x^2}\left(x\ne-y,x\ne y\right)\)
b, \(\frac{x-2}{-x}=\frac{8xy^2}{12ay}\left(a\ne0,y\ne0\right)\)
c, \(\frac{x+y}{3a}=\frac{3a\left(x+y\right)^2}{9a^2\left(x+y\right)}\left(a\ne0,x\ne-y\right)\)
a) Biến đổi vế phải, ta có :\(\frac{-3x\left(x-y\right)}{y^2-x^2}=\frac{3x\left(x-y\right)}{x^2-y^2}=\frac{3x\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}=\frac{3x}{x+y}\) = vế trái \(\Rightarrowđpcm\)
c)Biến đổi vế phải ta có: \(\frac{3a\left(x+y\right)^2}{9a^2\left(x+y\right)}=\frac{x+y}{3a}=vt\Rightarrowđpcm\)
Câu 1: Cho x, y>0 thỏa x+y=1
CMR: \(\frac{x^2}{x+3y}+\frac{y^2}{y+3x}\ge\frac{1}{4}\)
Câu 2: Cho a,b,c,d >0 thỏa a+b+c+d=4
CMR: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1}\ge2\)
câu 1.Ta có:
\(\frac{x^2}{x+3y}+\frac{x+3y}{16}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{x+3y}.\frac{x+3y}{16}}=\frac{x}{2}\)
\(\frac{y^2}{y+3x}+\frac{y+3x}{16}\ge2\sqrt{\frac{y^2}{y+3x}.\frac{y+3x}{16}}=\frac{y}{2}\)
\(\frac{x^2}{x+3y}+\frac{y^2}{y+3x}+\frac{x+y+3x+3y}{16}\ge\frac{x+y}{2}\)
\(\frac{x^2}{x+3y}+\frac{y^2}{y+3x}+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{2}\)
\(\frac{x^2}{x+3y}+\frac{y^2}{y+3x}\ge\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\left(đpcm\right)\)
Câu 2:
điều kiện \(a^2+b^2+c^2+d^2=4\)(đúng ko)
Ta có:
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{a^2+1}.\frac{a^2+1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{b^2+1}.\frac{b^2+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{b^2+1}.\frac{b^2+1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{c^2+1}+\frac{c^2+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{c^2+1}.\frac{c^2+1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{d^2+1}+\frac{d^2+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{d^2+1}.\frac{d^2+1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1}+\frac{a^2+b^2+c^2+d^2+4}{4}\ge4\)
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1}\ge4-\frac{8}{4}=2\left(đpcm\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Bạn ơi 2 dòng cuối ở câu 2 mình chưa hiểu lắm, làm sao để mất \(a^2+b^2+c^2+d^2\)được vậy?
Đúng 0
Bình luận (0)
đề đúng \(a+b+c+d=4\)
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1}+\frac{a^2+b^2+c^2+d^2+4}{4}\ge4\) ( đến đây là đúng nhé )
Có \(\frac{a^2+b^2+c^2+d^2+4}{4}\ge\frac{\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4}+4}{4}=\frac{\frac{4^2}{4}+4}{4}=\frac{8}{4}=2\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1}\ge4-2=2\) ( đpcm )
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
x+y4Rightarrowfrac{x+y}{2}2Rightarrowsqrt{frac{x+y}{2}}sqrt{2}P.sqrt{frac{x+y}{2}}sqrt{2}sqrt{x^2+frac{1}{x^2}}+sqrt{2}sqrt{x^2+frac{1}{x^2}}Leftrightarrowsqrt{2}Psqrt{1+1}sqrt{x^2+frac{1}{x^2}}+sqrt{1+1}sqrt{x^2+frac{1}{x^2}}Leftrightarrowsqrt{2}Pge x+frac{1}{x}+y+frac{1}{y}x+frac{1}{x}left(frac{1}{x}+4xright)-3xge4-3xy+frac{1}{y}left(frac{1}{y}+4yright)-3yge4-3yRightarrowsqrt{2}Pge8-3left(x+yright)8-3.4-4đến đay sau răng
Đọc tiếp
\(x+y=4\Rightarrow\frac{x+y}{2}=2\Rightarrow\sqrt{\frac{x+y}{2}}=\sqrt{2}\)
\(P.\sqrt{\frac{x+y}{2}}=\sqrt{2}\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{2}\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2}P=\sqrt{1+1}\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1+1}\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2}P\ge x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\)
\(x+\frac{1}{x}=\left(\frac{1}{x}+4x\right)-3x\ge4-3x\)
\(y+\frac{1}{y}=\left(\frac{1}{y}+4y\right)-3y\ge4-3y\)
\(\Rightarrow\sqrt{2}P\ge8-3\left(x+y\right)=8-3.4=-4\)
đến đay sau răng
1/ CMR:a) với mọi x khác 1 biểu thức:P frac{x^4-x^3-x+1}{x^4+x^3+3x^2+2x+2} luôn nhận giá trị dươngb) với mọi x, biểu thức:Q frac{-2x^2-2}{x^4+2x^3+6x^2+2x+5} luôn nhận giá trị âm2/ Cho xne0,yne0,zne0 và x y+zfrac{1}{x}-frac{1}{y}-frac{1}{z}1CMR: frac{1}{x^2}-frac{1}{y^2}-frac{1}{z^2}13/ Cho ane0,bne0,cne0 vàfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}frac{x^2}{a^2}frac{y^2}{b^2}frac{z^2}{c^2} CMR: x y z 0
Đọc tiếp
1/ CMR:
a) với mọi x khác 1 biểu thức:
P = \(\frac{x^4-x^3-x+1}{x^4+x^3+3x^2+2x+2}\) luôn nhận giá trị dương
b) với mọi x, biểu thức:
Q = \(\frac{-2x^2-2}{x^4+2x^3+6x^2+2x+5}\) luôn nhận giá trị âm
2/ Cho \(x\ne0,y\ne0,z\ne0\) và x = y+z
\(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=1\)
CMR: \(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{y^2}-\frac{1}{z^2}=1\)
3/ Cho \(a\ne0,b\ne0,c\ne0\) và
\(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}\)=\(\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}\)
CMR: x = y = z = 0