GTNN là gì z.tui ko  hiểu nên ko giải được!

GTNN là giá trị nhỏ nhất

giá trị nhỏ nhất

Vấn đề duy nhất của bài này là đánh giá cụm \(\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2}\)

Trước hết, ta chứng minh bổ đề sau:

Với hai dãy số dương \(x\ge y\ge z\) và \(a\ge b\ge c\) ta luôn có: \(ax+by+cz\ge bx+cy+az\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)x+\left(b-c\right)y+\left(c-a\right)z\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)x-\left(a-b\right)y+\left(a-c\right)y-\left(a-c\right)z\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(x-y\right)+\left(a-c\right)\left(y-z\right)\ge0\) (luôn đúng)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(x\ge y\ge z\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3\ge y^3\ge z^3\\\frac{1}{y^2+z^2}\ge\frac{1}{z^2+x^2}\ge\frac{1}{x^2+y^2}\end{matrix}\right.\)

Áp dụng bổ đề ta có:

\(\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2}\ge\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^3+x^2}+\frac{x^3}{x^2+y^2}\)

Mặt khác: \(\frac{x^3}{x^2+y^2}=x-\frac{xy^2}{x^2+y^2}\ge x-\frac{xy^2}{2xy}=x-\frac{1}{2}y\)

Tương tự và cộng lại: \(\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{x^2+z^2}\ge\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2+\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)-\frac{7}{6}\left(x+y+z\right)\)

\(P\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2-\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\)

\(P\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z-1\right)^2-\frac{1}{3}\ge-\frac{1}{3}\)

\(P_{min}=-\frac{1}{3}\) khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

@Nguyễn Việt Lâm Anh ơi giúp em nốt bài với ạ !!!

@Vũ Minh Tuấn HISINOMA KINIMADO Nguyễn Huy Thắng

Giúp mình với !!!

Chứng minh cái BĐT phụ này là xong: \(\frac{x}{3-x}\ge\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}\) (0 < x < 3)

\(\Leftrightarrow\frac{3\left(x-1\right)^2}{4\left(3-x\right)}\ge0\) (luôn đúng với 0 < x < 3)

Làm nốt.

\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=1.\)

Dấu "=" xảy ra khi:

\(x=y=z=\frac{2}{3}\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(\frac{x^2}{y+z}\)và \(\frac{y+z}{4}\), ta được :

\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=2.\frac{x}{2}=x\)  ( 1 )

Tương tự : \(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge y\)                                       ( 2 )

                \(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)                                          ( 3 )

Cộng ( 1 ) , ( 2 ) và ( 3 ) , ta được :

\(\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\right)+\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\)

\(P\ge\left(x+y+z\right)-\frac{x+y+z}{2}=1\) 

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)x = y = z = \(\frac{2}{3}\)

Vậy GTNN của P là 1 \(\Leftrightarrow\)x = y = z = \(\frac{2}{3}\)

\(\frac{x^2}{y+z}+x+\frac{y^2}{x+z}+y+\frac{z^2}{x+y}+z=\frac{x\left(x+y+z\right)}{y+z}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{x+z}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{x+y}\)

\(\Rightarrow P+\left(x+y+z\right)=\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\right)\)hay \(P+2=2\cdot\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)\).Mặt khác \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{yz+yx}+\frac{z^2}{zx+zy}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{3\left(xy+yz+zx\right)}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{2}\)

Do đó \(P+2\ge2\cdot\frac{3}{2}=3\Rightarrow P\ge1\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{xy+xz}=\frac{y}{yx+yz}=\frac{z}{zx+zy}\\x=y=z\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{y+z}=\frac{1}{x+z}=\frac{1}{x+y}\\x=y=z\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=z=\frac{2}{3}}\)

Đặt:P =  \(\frac{4-x}{x-2}=\frac{2+2-x}{x-2}=\frac{2}{x-2}-1\)

Ta có: P đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(\frac{2}{x-2}\) đạt giá trị lớn nhất 

+) Nếu :  x - 2 < 0 => \(\frac{2}{x-2}< 0\)

+) Nếu x - 2> 0 => \(\frac{2}{x-2}>0\)

Nên \(\frac{2}{x-2}\)đạt giá trị lớn nhất khi x - 2 > 0  và x - 2 đạt giá trị bé nhất 

=> x - 2 = 1 hay x = 3  ( thỏa mãn x khác 2)

Tại x = 3 ta có: P = 2 - 1 = 1 

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là P = 1 tại x = 3.

cô ơi đề bảo tìm gtnn cô ạ :(

Anh xét hiệu P - 3/2 rồi làm như cách của em: Câu hỏi của Namek kian - Toán lớp 9 ạ ! Từ đó suy ra P >= 3/2. Hoặc có thể làm thẳng luôn như 4 bạn kia.

\(P=\frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{z+x}+1+\frac{z}{x+y}+1-3\)

\(=\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{z+x}+\frac{x+y+z}{x+y}-3\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\right)-3\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)

\(\Leftrightarrow P\ge\left(x+y+z\right).\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}-3=\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=y=z\)

:))

tth giai thich cho anh tai sao cai cuoi lai lon hon hoac bang 0 di

GTNN là 1 bạn ak

1 nha tui ko chắc chắn đâu

tui mới lớp 5 mà

ap dung BDT Bunhiacopxki ta co: ( a+b+c).(X^2/a+Y^2/b+Z^2/c) >= (X+Y+Z)^2 => X^2/a+Y^2/b+Z^2/c >= (X+Y+Z)^2/(a+b+c) (*)                   ap dung BDT (*) ta co: A= x^2/(x+y)+y^2/(y+z)+z^2/(z+x) >= (x+y+z)^2/2(x+y+z) = (x+y+z)/2                                                                     mat #: ap dung BDT Co Si ta co: x+y >= 2can(xy) c/m tuong tu => x+y+z >= can(xy)+can(yz)+can(zx) = 2 => A >= 2/2 = 1

Bài 1:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:

\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)(x+y+z)\geq (1+1+1)^2\)

\(\Leftrightarrow A.1\geq 9\Leftrightarrow A\geq 9\)

Vậy GTNN của $A$ là $9$. Giá trị này đạt được tại $x=y=z=\frac{1}{3}$

Bài 2:

Hoàn toàn tương tự bài 1

$S(a+b+c)\geq (1+1+1)^2$ theo BĐT Bunhiacopxky

$\Leftrightarrow S.3\geq 9\Rightarrow S\geq 3$

Vậy GTNN của $S$ là $3$ khi $a=b=c=1$

Bài 3:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky như các bài trên ta có:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$

Mà $0< x+y+z\leq 6$ nên $\frac{9}{x+y+z}\geq \frac{9}{6}=\frac{3}{2}$

Do đó $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{3}{2}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=2$

Bài 4:

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:

$a^4+b^4+c^4+d^4\geq 4\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}=4abcd$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=d>0$