Với điều kiện \(a;b>0\)

\(P=8\left(a+4\right)+b+\frac{4b}{a}\ge8.2\sqrt{4a}+2\sqrt{b.\frac{4b}{a}}\)

\(P\ge32\sqrt{a}+\frac{4b}{\sqrt{a}}\ge2\sqrt{32.4.\frac{b\sqrt{a}}{\sqrt{a}}}=16\sqrt{2b}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=32\end{matrix}\right.\)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

\(a^{10}b^2+b^{10}a^2\ge a^8b^4+b^8a^4\)

\(\Leftrightarrow a^8+b^8\ge a^6b^2+b^6a^2\) (Do \(a^2b^2\ge0\))

\(\Leftrightarrow\left(a^6-b^6\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\ge0\) (luôn đúng).

Vậy ta có đpcm.

\(a^8+b^8-a^6b^2-a^2b^6=\left(a^8-a^6b^2\right)+\left(b^8-a^2b^6\right)=a^6\left(a^2-b^2\right)+b^6\left(b^2-a^2\right)=\left(a^6-b^6\right)\left(a^2-b^2\right)\) nên suy ra được như vậy Quỳnh Anh

Lời giải:

Ta có:

$x^4+y^4+(x+y)^4=(x^4+y^4+2x^2y^2)-2x^2y^2+[(x+y)^2]^2$

$=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+(x^2+2xy+y^2)^2$
$=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+(x^2+y^2)^2+(2xy)^2+4xy(x^2+y^2)$

$=2(x^2+y^2)^2+2x^2y^2+4xy(x^2+y^2)$

$=2[(x^2+y^2)^2+2xy(x^2+y^2)+(xy)^2]$

$=2(x^2+y^2+xy)^2$

Ta có đpcm.

Làm thông thường thoy; khai triển ra xog chuyển vế

\(\left(a^2+b^2\right)\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a^3+b^3\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^6+a^2b^4+a^4b^2+b^6\ge a^6+2a^3b^3+b^6\)

\(\Leftrightarrow a^2b^4+a^4b^2\ge2a^3b^3\)

\(\Leftrightarrow a^2b^4+a^4b^2-2a^3b^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng \(\forall a;b\in R\))

Vậy bđt đã đc chứng minh

cảm ơn nhiều nha. chúng ta kết bạn được không?

theo bđt bu-nhi-a cốp-xki thì

(a^3+b^3)^2=(axa^2+bxb^2)^2<=(a^2+b^2)(a^4+b^4)

còn bạn chưa biết thì

<=>a^6+b^6+a^2xb^2(a^2+b^2)>=a^6+b^6+2a^3xb^3

,<=>a^2xb^4+b^2xa^4>=2a^3xb^3

<=>(axb^2-a^2xb)^2>=0(luôn đúng)

với mọi a; b : 

 \(2\left(a^4+b^4+6a^2b^2\right)-\left(a+b\right)^4\)

\(=2a^4+2b^4+12a^2b^2-a^4-b^4-4a^3b-4ab^4-6a^2b^2\)

\(=a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4\)

\(=\left(a-b\right)^4\ge0\)

Vậy ta có điều cần chứng minh.

a) \(a^2+b^2=\left(a+b\right)^2-2ab\)

\(VP=\left(a+b\right)^2-2ab=a^2+2ab+b^2-2ab\)\(=a^2+b^2=VT\)

\(\Rightarrowđpcm\)

b)\(a^4+b^4=\left(a^2+b^2\right)^2-2a^2b^2\)

\(VP=a^4+b^4+2a^2b^2-2a^2b^2=a^4+b^4=VT\)\(\Rightarrowđpcm\)

c) ​\(a^6+b^6=\left(a^2+b^2\right)\left[\left(a^2+b^2\right)^2-3a^2b^2\right]\)

\(VP=\left(a^2+b^2\right)\left(a^4-a^2b^2+b^4\right)=a^6+b^6\)

\(VP=VT\Rightarrowđpcm\)

d)\(a^6-b^6=\left(a^2-b^2\right)[\left(a^2+b^2\right)^2-a^2b^2]\)

\(VP=\left(a^2-b^2\right)\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)=a^6-b^6=VT\)

\(VP=VT\Rightarrowđpcm\)