Với điều kiện \(a;b>0\)
\(P=8\left(a+4\right)+b+\frac{4b}{a}\ge8.2\sqrt{4a}+2\sqrt{b.\frac{4b}{a}}\)
\(P\ge32\sqrt{a}+\frac{4b}{\sqrt{a}}\ge2\sqrt{32.4.\frac{b\sqrt{a}}{\sqrt{a}}}=16\sqrt{2b}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=32\end{matrix}\right.\)
Cho: cosa, cosb ≠ 0, chứng minh đẳng thức: \(\frac{\sin\left(a+b\right).\sin\left(a-b\right)}{\cos^2a.\cos^2b}=\tan^2a-\tan^2b\)
Chứng minh
a) \(sin^4x=\frac{3}{8}-\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{8}cos4x\)
b) \(\frac{cos\left(a+b\right)cos\left(a-b\right)}{cos^2a.cos^2b}=1-tan^2a.tan^2b\)
Chứng minh đẳng thức
\(2sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+sin\left(3\pi-x\right)+sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)+cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=cosx\)
Chứng minh các bất đẳng thức sau :
a) \(5\left(x-1\right)< x^5-1< 5x^4\left(x-1\right)\), nếu \(x-1>0\)
b) \(x^5+y^5-x^4y-xy^4\ge0\), biết rằng \(x+y\ge0\)
c) \(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}< 5\), biết \(a,b,c\) cùng lớn hơn \(-\dfrac{1}{4}\) và \(a+b+c=1\)
Cho \(a,b,c>0\). Chứng minh \(\dfrac{\left(1+a^2b\right)\left(1+b^2\right)}{\left(a^2-a+1\right)\left(b^3+1\right)}\le2\)
Bài 1 :Chứng minh đẳng thức :
a. \(\frac{1-2sin^2x}{1-tanx}=\frac{1+sin2x}{1+tanx}\)
b. \(\frac{cot^2\frac{x}{2}-cot^2\frac{3x}{2}}{cos^2\frac{x}{2}.cosx.\left(1+cot^2\frac{3x}{2}\right)}=8\)
Bài 2:Cho sin(2a+b) = 5sinb . CMR: \(\frac{2tan\left(a+b\right)}{tana}=3\)
Giải các bất phương trình sau:
\(a,\left(x+1\right)\left(x+4\right)< 5\sqrt{x^2+5x+28}\)
\(b,4\sqrt{x}+\dfrac{2}{\sqrt{x}}< 2x+\dfrac{1}{2x}+2\)
chứng minh các đẳng thức sau:
1. sin6a.cos6a+sin2a.cos2a=\(\frac{1}{8}\)(1+cos42a)
2.\(\frac{tana-sina}{sin^3a}\) = \(\frac{1}{cos\left(1+cosa\right)}\)
Chứng minh|
a) \(\frac{1+sin2x}{sinx+cosx}-\frac{1-tan^2\frac{x}{2}}{1+tan^2\frac{x}{2}}=sinx\)
b) \(sin^4x+cos^4\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{3}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\)
