áp dụng bất đẳng thức côsi 

\(\frac{a^2}{b-1}+4\left(b-1\right)\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b-1}\cdot4\left(b-1\right)}=4a\)

\(\frac{b^2}{c-1}+4\left(c-1\right)\ge4b\)

\(\frac{c^2}{a-1}+4\left(a-1\right)\ge4c\)

cộng vế theo vế

\(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}+4\left(a-1\right)+4\left(b-1\right)+4\left(c-1\right)\ge4a+4b+4c\)

\(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge4\left(a+b+c\right)-4\left(a+b+c\right)+4\cdot3=12\)(đpcm)

Cách khác:

\(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)-3}\)

Đặt \(a+b+c=x>3\)

Ta cần chứng minh

\(\frac{x^2}{x-3}\ge12\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-6\right)^2}{x-3}\ge0\)(đúng)

Vậy ta có điều phải chứng minh

\(\frac{a^2}{b-1}+4\left(b-1\right)\ge4a\)

tương tụ,,,rồi cộng vô

Đặt x=a+b+c(x>3)

Ta có \(\left(x-6\right)^2\ge0\)(dấu '=' xảy ra khi x=6 hay a+b+c=6)\(\Leftrightarrow x^2-12x+36\ge0\Leftrightarrow x^2\ge12x-36\Leftrightarrow x^2\ge12\left(x-3\right)\Leftrightarrow\frac{x^2}{x-3}\ge12\)(1)

Áp dụng bđt \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)(dấu '=' xảy ra khi \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\))

Ta có \(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c-3}=\frac{x^2}{x-3}\)(2)

Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge12\)(đpcm)

Dấu '=' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{a}{b-1}=\frac{b}{c-1}=\frac{c}{a-1}\\a+b+c=6\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow a=b=c=2\)

Ta có: \(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c-3}\)

Vậy ta chỉ cần chứng minh \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c-3}\ge12\) với \(a;b;c>1\)

Thật vậy, do \(a;b;c>1\Rightarrow a+b+c-3>0\) biến đổi tương đương ta có:

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge12\left(a+b+c-3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-12\left(a+b+c\right)+36\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c-6\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

BĐT được chứng minh, dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)

với a,b,c là các số lớn hơn 1 . áp dugj bđt Cô-si ta có :

\(\frac{a^2}{b+1}+4\left(b-1\right)>=4a\)

cmtt: => đpcm 

thiếu điều kiện của a;b;c bạn nhé