\(\Rightarrow\left(\sqrt{a+\sqrt{b}}\mp\sqrt{a-\sqrt{b}}\right)^2=\left(\sqrt{2\left(a\mp\sqrt{a^2-b}\right)}\right)^2\Leftrightarrow a+\sqrt{b}+a-\sqrt{b}\mp2\sqrt{\left(a+\sqrt{b}\right)\cdot\left(a-\sqrt{b}\right)}=2a\mp2\sqrt{a^2-b}\Leftrightarrow2a\mp2\sqrt{a^2-b}=2a\mp2\sqrt{a^2-b}\) (luôn đúng) \(\Rightarrowđpcm\)

\(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}=\frac{\left(\sqrt{a}\right)^2}{\sqrt{b}}+\frac{\left(\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\left(dpcm\right)\)

Theo bđt Cauchy :

\(\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}\ge2\sqrt{\frac{a}{\sqrt{b}}\cdot\sqrt{b}}=2\sqrt{a}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow\frac{a}{\sqrt{b}}=\sqrt{b}\Leftrightarrow a=b\)

+ Tươ tự ta cm đc : \(\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\ge2\sqrt{b}\)

Dấu "=" <=> a = b

Do đó : \(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)

=> đpcm

Dấu "=" <=> a = b

a) Ta có: \(\sqrt{a+b}\le\sqrt{a}+\sqrt{b}\Leftrightarrow\left(\sqrt{a+b}\right)^2\le\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\Leftrightarrow a+b\le a+2\sqrt{ab}+b\)

Điều này luôn đúng với mọi a,b€N, do đó BĐT này đúng, dấu ‘=‘ xảy ra khi a=b=0.

b) Ai giải giúp với :)

Ta có : \(\sqrt{\text{a}-\sqrt{\text{b}}}\text{=}\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\) \(\left(b\ge0,a\ge\sqrt{b}\right)\)

Đặt \(x=\sqrt{a-\sqrt{b}}+\sqrt{a+\sqrt{b}}\) => \(x>0\Rightarrow x=\sqrt{x^2}\)

Ta có  : \(x^2=2a+2\sqrt{a^2-b}=4\left(\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}\right)\)\(\Rightarrow x=2\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\)

hay \(\sqrt{a-\sqrt{b}}+\sqrt{a+\sqrt{b}}=2\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\)(1)

Đặt \(y=\sqrt{a+\sqrt{b}}-\sqrt{a-\sqrt{b}}\Rightarrow y>0\Rightarrow y=\sqrt{y^2}\)

Ta có  ; \(y^2=2a-2\sqrt{a^2-b}=4\left(\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}\right)\Rightarrow y=2\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\)

hay \(\sqrt{a+\sqrt{b}}-\sqrt{a-\sqrt{b}}=2\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\)(2)

Trử (1) và (2) theo vế ta được : 

\(\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\)(đpcm)

có cách nào ngắn hơn không mấy bn

Mình thấy cách này là chuẩn rồi bạn nhé :))

Cách khác thì mình chưa nghĩ ra ^.^

Ta có: ( √a - √b)² ≥ 0 ( voi moi a , b ≥ 0 ) 
<=> a - 2√ab + b ≥ 0 
<=> a + b ≥ 2√ab 
<=> (a + b)/2 ≥ √ab 
dau "=" xay ra khi √a - √b = 0 <=> a = b

BĐT tương đương :

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )

Vậy ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

Ta có :

\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)( với mọi a , b )

Vậy ..............

GIÚP MK NHANH NHÉ

Với b\(\ge\)0, a\(\ge\)\(\sqrt{b}\) ta bình phương 2 vế lên có:

\(\sqrt{a\pm \sqrt{b}}^2\)=\((\sqrt{\dfrac{\sqrt{a+\sqrt{a^2-b}}}{2}}\)\pm \(\sqrt{\dfrac{\sqrt{a-\sqrt{a^2-b}}}{2}})^2\)

Xét vế trái ta có:

\(\sqrt{(a\pm \sqrt{b})^2}\)=\(a\pm \sqrt{b})

Bình phương vế phải của đẳng thức ta đc :

\(\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}+\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}\pm2\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}\cdot\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\)

\(=a\pm2\sqrt{\frac{a^2-\left(a^2-b\right)}{4}}\)

\(=a\pm2\sqrt{\frac{b}{4}}=a\pm\sqrt{b}\)

=> đpcm

hawtu

how to ko hĩu