\(\sqrt{a}-\sqrt{b}\le\sqrt{a-b}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\le a-b\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b-a+b\le0\)
\(\Leftrightarrow2b-2\sqrt{ab}\le0\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{b}\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)\le0\)
Do \(a\ge b\Leftrightarrow\sqrt{a}\ge\sqrt{b}\Leftrightarrow\sqrt{b}-\sqrt{a}\le0\forall a;b\)
Do đó bđt cuối luôn đúng
Ta có đpcm
CM bất đẳng thức sau:
a, Cho a>c , b>c , c>0
CM: \(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)
b, CM
\(\dfrac{2005}{\sqrt{2006}}+\dfrac{2006}{\sqrt{2005}}>\sqrt{2005}+\sqrt{2006}\)
help me!!
Câu 1: Rút gọn biểu thức
a) \(N=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{7+4\sqrt{3}}}}}\)
b) \(M=\sqrt{5-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}\)
Câu 2:
a) Cho a > 0. Chứng minh: \(a+\dfrac{1}{a}\ge2\)
b) Cho \(a\ge0\) , \(b\ge0\) . Chứng minh: \(\sqrt{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)
c) Cho a, b > 0. Chứng minh: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\le\dfrac{a}{\sqrt{b}}+\dfrac{b}{\sqrt{a}}\)
d) Chứng minh: \(\dfrac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge2\) với mọi a
1 cho a\(\ge0;b\ge0.CMR\)
\(\sqrt{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)
cho a\(\ge0;b\ge0\). Chứng minh
a)\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
b)\(\sqrt{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{2}}{2}\)
Cho các số dương a,b,c .Chứng minh rằng bất đẳng thức
\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+d}}+\sqrt{\dfrac{c}{d+a}}+\sqrt{\dfrac{d}{a+b}}\)\(\ge2\)
Rút gọn : a) \(\dfrac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\sqrt{ab}\)
b)\(\dfrac{x+4y-4\sqrt{xy}}{\sqrt{x}-2\sqrt{y}}+\dfrac{y+\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\left(x\ge0;y\ge0;x\ne4y\right)\)
c)\(\dfrac{x+4\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{4-x}{\sqrt{x}-2}\left(x\ge0;x\ne4\right)\)
d)\(\dfrac{9-x}{\sqrt{3x}+3}-\dfrac{9-6\sqrt{x}+x}{\sqrt{x}-3}\)
e)\(\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+4\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\dfrac{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{\sqrt{xy}}\)
g)\(\left(2-\dfrac{a-3\sqrt{a}}{\sqrt{a}-3}\right)\left(2-\dfrac{5\sqrt{a}-\sqrt{ab}}{\sqrt{b}-5}\right)với\) a, b \(\ge\)0 , a \(\ne\)9; b\(\ne\)25
Mọi người giúp tớ với , cảm ơn nhiều nhiều ạ !!
chứng minh các bát đẳng thức sau
a)Cho a>0 chứng minh rằng \(a+\dfrac{1}{a}\)≥2
b)\(\dfrac{a^2+a+2}{\sqrt{a^2+a+1}}\)≥2
c)\(\sqrt{a+1}-\sqrt{a}< \dfrac{1}{2\sqrt{a}}\)
Với giá trị nào của x thì ta có \(A\sqrt{B}=\sqrt{A^2B}\) với \(B\ge0\)
a. \(A\ge0\)
b. \(A\le0\)
c. A>0
d. A<0
Cho biểu thức \(A=\left(\dfrac{a\sqrt{a}-3}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}+3\right)}-\dfrac{2\left(\sqrt{a}-3\right)}{\sqrt{a}+1}-\dfrac{\sqrt{a}+3}{\sqrt{a}-3}\right):\dfrac{a+8}{a-1}\)với a \(\ge0;a\ne9\)
Rút gọn biểu thức A.
