x 4 - 5 x 2 + 4 = x 4 - 4 x 2 - x 2 + 4 = x 4 - 4 x 2 - x 2 - 4 = x 2 x 2 - 4 - x 2 - 4 = x 2 - 4 x 2 - 1 = x + 2 x - 2 x + 1 x - 1

Đa thức đã cho không phân tích thành nhân tử được

*Đoán nghiệm sử dụng tính chất của đa thức:

 Ta dễ dàng nhận thấy đa thức \(P\left(x\right)=x^3+4x^2-19x+24\) không có nghiệm là \(\pm1\).

 Giả sử \(P\left(x\right)\) có nghiệm hữu tỉ dạng \(\dfrac{p}{q}\left(p,q\inℤ\right)\), không mất tổng quát giả sử \(q>0\). Khi đó \(p|24\), \(q|1\) \(\Rightarrow q=1\).

 Khi đó do \(P\left(x\right)\) không có nghiệm là \(\pm1\) nên \(p\in\left\{\pm2,\pm3,\pm4;\pm6;\pm8;\pm12;\pm24\right\}\)

 Thử lại, ta thấy không có số \(p\) nào thỏa mãn \(\dfrac{p}{q}\) là nghiệm của P(x). Vậy đa thức \(P\left(x\right)\) không có nghiệm hữu tỉ \(\Rightarrow\) \(P\left(x\right)\) không thể phân tích thành nhân tử.

 * Chú ý rằng chỉ khi \(degP\left(x\right)\le3\) hoặc \(degP\left(x\right)⋮̸2\) thì từ P(x) không có nghiệm hữu tỉ mới suy ra được P(x) không phân tích được thành nhân tử nhé. Nếu \(\left\{{}\begin{matrix}degP\left(x\right)\ge4\\degP\left(x\right)⋮2\end{matrix}\right.\) thì chưa chắc điều này đã đúng. VD: Đa thức \(Q\left(x\right)=x^4+4\) không có nghiệm hữu tỉ (nó thậm chí còn không có nghiệm thực) nhưng ta vẫn có thể phân tích thành nhân tử như sau:

 \(Q\left(x\right)=x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2\)

\(=\left(x^2+2\right)^2-\left(2x\right)^2\)

\(=\left(x^2-2x+2\right)\left(x^2+2x+2\right)\)

45 + x 3 - 5 x 2 - 9 x = x 3 - 5 x 2 - 9 x - 45 = x 2 x - 5 - 9 x - 5 = x - 5 x 2 - 9 = x - 5 x - 3 x + 3

Bài 1:

\(1,Sửa:x^3-2x^2+x=x\left(x^2-2x+1\right)=x\left(x-1\right)^2\\ 2,=6\left(x^2+2xy+y^2\right)=6\left(x+y\right)^2\\ 3,=2y\left(y^2+4y+4\right)=2y\left(y+2\right)^2\\ 4,=5\left(x^2-2xy+y^2\right)=5\left(x-y\right)^2\)

Bài 2:

\(1,=x\left(x^2-64\right)=x\left(x-8\right)\left(x+8\right)\\ 2,=2y\left(4x^2-9\right)=2y\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)\\ 3,=3\left(x^3-1\right)=3\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\)

Bài 3:

\(a,=5\left(x^2+2x+1-y^2\right)=5\left[\left(x+1\right)^2-y^2\right]=5\left(x-y+1\right)\left(x+y+1\right)\\ b,=3x\left(x^2-2x+1-4y^2\right)=3x\left[\left(x-1\right)^2-4y^2\right]\\ =3x\left(x-2y-1\right)\left(x+2y-1\right)\\ c,=ab\left(a-b\right)\left(a+b\right)+\left(a+b\right)^2\\ =\left(a+b\right)\left(a^2b-ab^2+a+b\right)\\ d,=2x\left(x^2-y^2-4x+4\right)=2x\left[\left(x-2\right)^2-y^2\right]\\ =2x\left(x-y-2\right)\left(x+y-2\right)\)

Bài 1;

1) \(x^3-2x-x=x\left(x^2-2x-1\right)\)

2) \(6x^2+12xy+6y^2=6\left(x^2+2xy+y^2\right)=6\left(x+y\right)^2\)

3) \(2y^3+8y^3+8y=10y^3+8y=2y\left(5y^2+4\right)\)

4) \(5x^2-10xy+5y^2=5\left(x^2-2xy+y^2\right)=5\left(x-y\right)^2\)

Bài 2:

1) \(x^3-64x=x\left(x^2-64\right)=x\left(x-8\right)\left(x+8\right)\)

2) \(8x^2y-18y=2y\left(4x^2-9\right)=2y\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)\)

3) \(24x^3-3=3\left(8x^3-1\right)=3\left(2x-1\right)\left(4x^2+2x+1\right)\)

Bài 3:

1) \(5x^2+10x+5-5y^2=5\left(x^2+2x+1-y^2\right)=5\left[\left(x+1\right)^2-y\right]=5\left(x-y+1\right)\left(x+y+1\right)\)

2) \(3x^3-6x^2+3x-12xy^2=3x\left(x^2-2x+1-4y^2\right)=3x\left[\left(x-1\right)^2-\left(2y\right)^2\right]=3x\left(x-2y-1\right)\left(x+2y-1\right)\)

3) \(a^3b-ab^3+a^2+2ab+b^2=ab\left(a^2-b^2\right)+\left(a+b\right)^2=ab\left(a-b\right)\left(a+b\right)+\left(a+b\right)^2=\left(a+b\right)\left(a^2b-ab^2+a+b\right)\)

4) \(2x^3-2xy^2-8x^2+8xy=2x\left(x^2-y^2-4x+4y\right)=2x\left[\left(x-y\right)\left(x+y\right)-4\left(x-y\right)\right]=2x\left(x-y\right)\left(x+y-4\right)\)

\(5x^2-19x-4=5x^2-20x+x-4\)

\(=\left(5x^2-20x\right)+\left(x-4\right)\)

\(=5x\left(x-4\right)+\left(x-4\right)\)

\(=\left(5x-1\right)\left(x-4\right)\)

= 5x^2 + x - 20x - 4

= (5x^2 + x) - (20x + 4)

= x(5x+1) - 4 (5x + 1)

= (5x+1) (x - 4)

\(5x^2-19x-4\)

\(=5x^2-20x+\left(x-4\right)\)

\(=5x\left(x-4\right)+\left(x-4\right)\)

\(=\left(5x-1\right)\left(x-4\right)\)

5x2 (x – 2y)– 15x(x – 2y) = x.5x(x - 2y) - 3.5x(x - 2y)

= (x - 3).5x(x - 2y)

\(\text{x^3 – 5x^2 + 8x – 4 }\)

\(\text{= x^3 – 4x^2 + 4x – x^2 + 4x – 4}\)

\(\text{= x( x^2 – 4x + 4 ) – ( x^2 – 4x + 4 )}\)

\(\text{= ( x – 1 ) ( x – 2 )^2}\)

\(x^3-5x^2+8x-4=x^3-x^2-4x^2+4x-4\\ =x^2\left(x-1\right)-4x\left(x-1\right)+4\left(x-1\right)\\ =\left(x^2-4x+4\right)\left(x-1\right)\\ =\left(x-2\right)^2\left(x-1\right)\)

a) x³ + 2x²y +  xy² - 9x

= x(x² + 2xy + y² - 9)

= x(x+y)² - 9

= x(x + y - 3) ( x + y + 3).

b) 5x² - 10xy + 5y²

= 5(x² - 2xy + y²)

= 5(x-y)²

Có sai thì xin lỗi ạ

Ta có : \(x^4-5x^2+4\)

\(=x^4-x^2-4x^2+4\)

\(=x^2\left(x^2-1\right)-4\left(x^2-1\right)\)

\(=\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)\)

\(=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\)

Ta có: \(x^4-5x^2+4\)

\(=x^4-x^2-4x^2+4\)

\(=x^2\left(x^2-1\right)-4\left(x^2-1\right)\)

\(=\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)\)

\(=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\)