\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{c+a}+\frac{c^3}{a+b}=\frac{a^4}{ab+ac}+\frac{b^4}{bc+ab}+\frac{c^4}{ac+bc}\)

\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\)

ÁP dụng BĐT cô-si, ta có \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\ge\frac{3}{2}\)

Mà \(ab\le\frac{a^2+b^2}{2}\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{c^2+ab}\ge\frac{2\left(a^2+b^2\right)}{2c^2+a^2+b^2}\)

Tương tự, ta có 

\(\frac{a^2+b^2}{c^2+ab}+\frac{b^2+c^2}{a^2+bc}+\frac{c^2+a^2}{b^2+ac}\ge2\left(\frac{a^2+b^2}{a^2+c^2+b^2+c^2}+...\right)\)

Đặt \(\left(a^2+b^2;...\right)=\left(x;y;z\right)\)

Ta có VT\(\ge\frac{3}{2}+2\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\right)=\frac{3}{2}+2\left(\frac{x^2}{xy+zx}+\frac{y^2}{ỹ+yz}+\frac{z^2}{zx+zy}\right)\)

=> \(VT\ge\frac{3}{2}+2.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}\)

=> \(A\ge\frac{9}{2}\left(ĐPCM\right)\)

Dấu = xảy ra <=> a=b=c>0

Có BĐT: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(A=\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{c+a}+\frac{c^3}{a+b}=\frac{a^4}{ab+ac}+\frac{b^4}{bc+ab}+\frac{c^4}{ac+bc}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel:

\(A\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{1^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{1}{2.1}=\frac{1}{2}\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\frac{a^4}{ab+ac}+\frac{b^4}{ab+bc}+\frac{c^4}{ac+bc}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Hoặc bạn dùng AM-GM kiểu:

\(\frac{a^3}{b+c}+a\left(b+c\right)\ge2a^2\)

Làm tương tự với 2 cái sau và cộng lại

Ngoài ra có cách dùng AM-GM cho 3 số như sau:

Ta có: \(\frac{a^3}{b+c}+\frac{a^3}{b+c}+\frac{\left(b+c\right)^2}{8}\ge\frac{3}{2}a^2\)

Tương tự rồi cộng lại:

\(2VT\ge\frac{3}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2}{8}\)

\(\ge1\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Sorry, tới đây em bí rồi ạ:v

a) Bổ đề: \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\forall x,y>0\)

\(\frac{a^3+b^3}{ab}+\frac{b^3+c^3}{bc}+\frac{c^3+a^3}{ca}\ge\frac{ab\left(a+b\right)}{ab}+\frac{bc\left(b+c\right)}{bc}+\frac{ca\left(c+a\right)}{ca}=2\left(a+b+c\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Cảm ơn bạn nhiều nhé Nhật Pháp soi chiếu thế gian. Nếu có thể, mong bạn hãy giúp mình những phần còn lại ^^

c) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

\(\frac{a^3}{b}+\frac{a^3}{b}+b^2\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{b}.\frac{a^3}{b}.b^2}=3a^2\);

\(\frac{b^3}{c}+\frac{b^3}{c}+c^2\ge3\sqrt[3]{\frac{b^3}{c}.\frac{b^3}{c}.c^2}=3b^2\);

\(\frac{c^3}{a}+\frac{c^3}{a}+a^2\ge3\sqrt[3]{\frac{c^3}{a}.\frac{c^3}{a}.a^2}=3c^2\)

Cộng theo từng vế ba bất đẳng thức trên ta đươc:

 \(2\left(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\right)+a^2+b^2+c^2\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)