Nguyễn Việt Lâm giúp mk nhá, thanks bn nhìu =)))

\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt[3]{ax+1}-\sqrt[]{1-bx}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{ax}{\sqrt[3]{\left(ax+1\right)^2}+\sqrt[3]{ax+1}+1}+\dfrac{bx}{1+\sqrt[]{1-bx}}}{x}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\left(\dfrac{a}{\sqrt[3]{\left(ax+1\right)^2}+\sqrt[3]{ax+1}+1}+\dfrac{b}{1+\sqrt[]{1-bx}}\right)=\dfrac{a}{3}+\dfrac{b}{2}\)

Hàm liên tục tại \(x=0\) khi:

\(\dfrac{a}{3}+\dfrac{b}{2}=3a-5b-1\Leftrightarrow8a-11b=3\)

Nguyễn Việt Lâm giúp mk nhá, thanks bn nhìu =)))

Lời giải:

Để hàm liên tục tại $x=0$ thì:

\(\lim\limits_{x\to 0+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0-}f(x)=f(0)\)

\(\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to 0+}\frac{\sqrt{x+1}-1}{2x}=\lim\limits_{x\to 0-}(2x^2+3mx+1)=1\)

\(\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to 0+}\frac{1}{2(\sqrt{x+1}+1)}=0\Leftrightarrow \frac{1}{2}=0\) (vô lý)

Vậy không tồn tại $m$ thỏa mãn.

- Với \(x< 3\Rightarrow f'\left(x\right)=6x^2-6\left(m+1\right)x+6m=6\left(x-1\right)\left(x-m\right)\)

\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow6\left(x-1\right)\left(x-m\right)=0\left(1\right)\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=m\end{matrix}\right.\) có tối đa 2 cực trị khi \(x< 3\)

- Với \(x>3\Rightarrow f'\left(x\right)=n\) là hằng số \(\Rightarrow f\left(x\right)\) ko có cực trị khi \(x>3\)

\(\Rightarrow\) Hàm có đúng 3 điểm cực trị khi và chỉ khi nó đồng thời thỏa mãn:

ĐK1: \(f'\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm pb khi \(x< 3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 3\\m\ne1\end{matrix}\right.\)

ĐK2: \(x=3\) là 1 cực trị của hàm số

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) liên tục tại \(x=3\) đồng thời đạo hàm đổi dấu khi đi qua \(x=3\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow3^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow3^-}f\left(x\right)\Leftrightarrow3n+46=25-9m\Rightarrow n=-3m-7\) (2)

Mặt khác do 2 nghiệm của (1) đều nhỏ hơn 3 \(\Rightarrow\) tại lân cận trái của \(x=3\) đạo hàm luôn có dấu dương

\(\Rightarrow\) Để đạo hàm đổi dấu khi đi qua \(x=3\) thì \(f'\left(3^+\right)=n< 0\)

Thế vào (2) \(\Rightarrow-3m-7< 0\Rightarrow m>-\dfrac{7}{3}\)

\(\Rightarrow-\dfrac{7}{3}< m< 3\Rightarrow\sum m=0\)

Hàm liên tục với mọi \(x\ne1\)

Xét tại \(x=1\) ta có:

\(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\left(2x^2+3x\right)=2.1^2+3.1=5\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\left(ax+2\right)=a+2\)

\(f\left(1\right)=a+2\)

Hàm liên tục trên toàn R khi hàm liên tục tại \(x=1\)

\(\Leftrightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=f\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow a+2=5\Rightarrow a=3\)

\(f\left(0\right)=\frac{1}{0-1}=-1\)

\(f\left(2\right)=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\)

\(P=f\left(0\right)+f\left(2\right)=-1+2=1\)

*Có gì sai mong bỏ qua do em mới học lớp 9 :D

\(\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{x^2+4}-2}{x^2}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{x^2}{x^2\left(\sqrt{x^2+4}+2\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{1}{\sqrt{x^2+4}+2}=\frac{1}{4}\)

Để hàm số liên tục tại \(x=0\Leftrightarrow\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left(x\right)=f\left(0\right)\)

\(\Leftrightarrow2a-\frac{5}{4}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow2a=\frac{3}{2}\Rightarrow a=\frac{3}{4}\)