a) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vAHB\), ta có:

\(AH^2=AM\cdot AB\left(1\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vAHC\), ta có:

\(AH^2=AN\cdot AC\left(2\right)\)

Từ(1) và (2) ta được: \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

b) Ta có: MHNA là hình chữ nhật(pn tự cm nha cái này dễ)

\(\Rightarrow MH=AN\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vAHC\), ta có:

\(HN^2=AN\cdot NC\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vAHB\), ta có:

\(HM^2=AM\cdot MB\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vAHN\), ta có:

\(AN^2+HN^2=AH^2\)

Mà \(MH=AN\)

\(\Rightarrow MH^2+HN^2=AH^2\)

\(\Rightarrow BM\cdot MA+AN\cdot NC=BH\cdot HC\)

c) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vABC\), ta có:

\(AC^2=HC\cdot BC\left(1\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vABC\), ta có:

\(AB^2=HB\cdot BC\left(2\right)\)

Lấy (2) chia (1) ta được: \(\dfrac{HB}{HC}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2\)

d) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vABC\), ta có:

\(AC^2=HC\cdot BC\Rightarrow AC^4=HC^2\cdot BC^2\)

\(\Rightarrow AC^4=NC\cdot AC\cdot BC^2\Rightarrow AC^3=NC\cdot BC^2\left(1\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vABC\), ta có:

\(AB^2=HB\cdot BC\Rightarrow AB^4=HB^2\cdot BC^2\)

\(\Rightarrow AB^4=BM\cdot AB\cdot BC^2\Rightarrow AB^3=BM\cdot BC^2\left(2\right)\)

Lấy (2) chia (1) ta được: \(\dfrac{BM}{CN}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)

a) Ta có tứ giác MHNA là hình chữ nhật

\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{AHN}\) ( góc nội tiếp cùng chắn cung AN)

mà \(\widehat{AHN}=\widehat{ACH}\) ( cùng phụ với \(\widehat{HAN}\) )

\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ACH}\)

Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta ACB\) có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AMN}=\widehat{ACH}\left(cmt\right)\\\widehat{MAN}chung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AMN\sim\Delta ACB\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\Rightarrow AM.AB=AN.AC\left(đpcm\right)\)

b) Xét \(\Delta AHB\) vuông tại H, \(MH\perp AB\) có:

\(MH^2=MA.MB\left(1\right)\)

cmtt: \(NH^2=NA.NC\left(2\right)\)

Ta lại có: \(HB.HC=AH^2=MN^2\)( 2 đường chéo bằng nhau) (3)
Xét \(\Delta MHN\) vuông tại H có
\(\Rightarrow MH^2+HN^2=MN^2=AH^2\left(4\right)\)

Từ (1),(2),(3) và (4) \(\Rightarrow HB.HC=MA.MB+NA.NC\left(đpcm\right)\)

c) Có \(HB=\frac{AC^2}{BC}\)

\(HC=\frac{AC^2}{BC}\)

\(\Rightarrow\frac{BH}{HC}=\frac{AB^2}{BC}:\frac{AC^2}{BC}=\frac{AB^2}{AC^2}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^2\)

a) AM.AB = AN.AC
△AHB vuông tại H, đường cao HM, △AHC vuông tại H, đường cao HN
⇒AM.AB = AN.AC = AH^2 (hệ thức về cạnh và đường cao...)
b) HB.HC = MA.MB + NA.NC
- Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH
suy ra HB.HC = AH^2 (hệ thức về cạnh và đường cao...)
mà tứ giác AMHN là hcn, suy ra AH(^2) = MN(^2)
- △AHB vuông tại H, đường cao HM, △AHC vuông tại H, đường cao HN
suy ra MA.MB + NA.NC = HM(^2) + (HN^2)= (MN^2)
từ đó suy ra điều phải c/m
c) (HB/HC)=((AB/AC))(^2)
((AB/AC))(^2)=((AB^2)/AC(^2)) = (BH.BC/CH.BC)=(HB/HC)

a: Xét ΔAHB vuông tại H cso HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔACH vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

c: \(\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2=\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{HB\cdot BC}{HC\cdot BC}=\dfrac{HB}{HC}\)

b: \(MA\cdot MB+NA\cdot NC\)

\(=MH^2+NH^2=AH^2\)

b: Xét ΔAHC vuông tại H có 

\(AC^2=AH^2+HC^2\)

hay \(AH^2=AC^2-HC^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AC^2-HC^2=AN\cdot AC\)

bạn ghi cách ra sẽ dễ thấy hơi á

Sửa đề: ΔABC vuông tại A

a: MB/NH=BH^2/AB:CH^2/AC

=BH^2/CH^2*AC/AB

=(AB/AC)^4*AC/AB=AB^3/AC^3

b: BC*BM*CN

=BC*BH^2/AB*CH^2/AC

=AH^4/AH=AH^3

c: ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên AM*AB=AH^2

ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao

nen AN*AC=AH^2

ΔABC vuông tại A có AH vuông góc BC

nên HB*HC=AH^2

=>HB*HC=AM*AB

góc AMH=góc ANH=góc MAN=90 độ

=>AMHN là hình chữ nhật

=>AH=MN

=>AM*AB=HB*HC=MN^2

d: BM*BA+AN*AC

=BH^2+AH^2=AB^2=BH*BC