a) Xét ΔABC có 

BE là đường cao ứng với cạnh AC(gt)

CD là đường cao ứng với cạnh AB(gt)

BE cắt CD tại H(gt)

Do đó: H là trực tâm của ΔABC(Tính chất ba đường cao của tam giác)

Suy ra: AH\(\perp\)BC

mà HM\(\perp\)BC(gt)

và AH,HM có điểm chung là H

nên A,H,M thẳng hàng(đpcm)

b) Xét ΔBMH vuông tại M và ΔBEC vuông tại E có 

\(\widehat{EBC}\) chung

Do đó: ΔBMH\(\sim\)ΔBEC(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{BM}{BE}=\dfrac{BH}{BC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(BE\cdot BH=BM\cdot BC\)

Xét ΔCMH vuông tại M và ΔCDB vuông tại D có

\(\widehat{DCB}\) chung

Do đó: ΔCMH\(\sim\)ΔCDB(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{CM}{CD}=\dfrac{CH}{CB}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(CH\cdot CD=CM\cdot CB\)

Ta có: \(BE\cdot BH+CM\cdot CD\)

\(=BM\cdot BC+CM\cdot BC\)

\(=BC^2\)(đpcm)

#\(N\)

*Sửa đề: `CD \bot AB` chứ không phải `AD, BE` cắt đoạn `CD` tại `O` chứ không phải đoạn `BD.`

`a,` Vì Tam giác `ABC` có `AB = AC ->`\(\widehat{B}=\widehat{C}\) 

Xét Tam giác `BDC` và Tam giác `CEB` có:

`BC` chung

\(\widehat{B}=\widehat{C}\) `(CMT)`

\(\widehat{BDC}=\widehat{CEB}=90^0\) 

`=>` Tam giác `BDC =` Tam giác `CEB (ch-gn)`

`-> BD = CE (2` cạnh tương ứng `)`

`b,` Xét Tam giác `ADC` và Tam giác `AEB` có:

`AB = AC (g``t)`

\(\widehat{A}\) chung

\(\widehat{AEB}=\widehat{ADC}=90^0\)

`=>` Tam giác `ADC =` Tam giác `AEB (ch-gn)`

`=>` \(\widehat{ABE}=\widehat{ACD}\) `( 2` góc tương ứng `)`

Xét Tam giác `OBD` và Tam giác `OCE` có:

\(\widehat{ODB}=\widehat{OEC}=90^0\)

`BD = CE (CMT)`

\(\widehat{DBO}=\widehat{ECO}\) `(CMT)`

`=>` Tam giác `OBD =` Tam giác `OCE (g-c-g)`

`c,` *Mình sẽ bổ sung sau nha bạn .-. câu này mình bị bí á .-.

lm nốt câu c nha=))

c: 

Có `Delta OBD=Delta OCE(cmt)`

`=>OD=OE` ( `2` cạnh tương ứng ) 

Có `CD ⊥ AB(GT)=>hat(ADC)=90^0=>hat(ADO)=90^0`

`BE⊥AC(GT)=>hat(AEB)=90^0=>hat(AEO)=90^0`

Xét `Delta ADO` và `Delta AEO` có :

`hat(ADO)=hat(AEO)(=90^0)`

`AO` -chung

`DO=EO(cmt)`

`=>Delta ADO=Delta AEO(c.h-c.g.v)`

`=>AD=AE` ( hai cạnh tương ứng )

`=>Delta ADE` cân tại `A=>hat(ADE)=(180^0-hat(A))/2`

`Delta ABC` cân tại `A(AB=AC)=>hat(ABC)=(180^0-hat(A))/2`

nên `hat(ADE)=hat(ABC)`

mà `2` góc này ở vị trí đvị 

nên `DE////BC`(đpcm)

hình : 

a: Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBED vuông tại E có

BD chung

góc ABD=góc EBD

=>ΔBAD=ΔBED

b: Xét ΔBEF vuông tại E và ΔBAC vuông tại A có

BE=BA

góc EBA chung

=>ΔBEF=ΔBAC

=>BF=BC

a: Xét tứ giác AEHD có 

\(\widehat{AEH}=\widehat{ADH}=\widehat{DAE}=90^0\)

Do đó: AEHD là hình chữ nhật

1: Xét ΔABE vuông tại E và ΔACD vuông tại D có

AB=AC

\(\widehat{BAE}\) chung

Do đó: ΔABE=ΔACD

2: Ta có: ΔABE=ΔACD

=>\(\widehat{ABE}=\widehat{ACD}\)

Ta có: \(\widehat{ABE}+\widehat{EBC}=\widehat{ABC}\)

\(\widehat{ACD}+\widehat{DCB}=\widehat{ACB}\)

mà \(\widehat{ABE}=\widehat{ACD};\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

nên \(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\)

=>\(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)

=>ΔIBC cân tại I

3: Xét ΔABC có

BE,CD là các đường cao

BE cắt CD tại I

Do đó: I là trực tâm của ΔABC

=>AI\(\perp\)BC tại H

Ta có: ΔABH vuông tại H

=>\(AH^2+HB^2=AB^2\)

=>\(AB^2-AH^2=BH^2\left(1\right)\)

Ta có: ΔIHB vuông tại H

=>\(HI^2+HB^2=BI^2\)

=>\(HB^2=BI^2-HI^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AB^2-AH^2=BI^2-HI^2\)

=>\(AB^2+HI^2=BI^2+AH^2\)

Sau gần một buổi trưa lăn lội với Thales, đồng dạng ở câu b thì t đã nghĩ đến cách của lớp 7 ~ ai dè làm được ^^

Sao bổ sung hình vẽ không được vậy nè

a: góc BDC=góc BEC=90 độ

=>CD vuông góc AB, BE vuông góc AC

góc ADH+góc AEH=180 độ

=>ADHE nội tiếp