Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(2;5). Khi đó:

  A. Đường tròn (M;5) cắt hai trục Ox,Oy.

  B. Đường tròn (M;5) cắt trục Ox và tiếp xúc với trục Oy.

  C. Đường tròn (M;5) tiếp xúc với trục Ox và cắt trục Oy.

  D. Đường tròn (M;5) không cắt cả hai trục Ox,Oy.

Học tốt!

(C): x^2+y^2+4x-2y-4=0

=>(x+2)^2+(y-1)^2=9

=>I(-2;1); R=3

M thuộc d nên M(a;1-a)

M nằm ngoài (C) nên IM>R

=>IM^2>9

=>2a^2+4a-5>0

MA^2=MB^2=IM^2-IA^2=(a+2)^2+(-a)^2-9=2a^2+4a-5

=>x^2+y^2-2ax+2(a-1)y-6a+6=0(1)

A,B thuộc (C)

=>Tọa độ A,B thỏa mãn phương trình:

 x^2+y^2+4x-2y-4=0(2)

(1)-(2)=(a+2)x-ay+3a-5=0(3)

Tọa độ A,B thỏa mãn (3) nên (3) chính là phương trình đường thẳng AB

(E) tiếp xúc AB nên (E): R1=d(E,AB)

Chu vi của (E) lớn nhất khi R1 lớn nhất

=>d(E;AB) lớn nhất

Gọi H là hình chiếu vuông góc của E lên AB

=>d(E,Δ)=EH<=EK=căn 10/2

Dấu = xảy ra khi H trùng K

=>AB vuông góc EK

vecto EK=(-1/2;3/2), AB có VTCP là (a;a+2)

AB vuông góc EK

=>-1/2a+3/2(a+2)=0

=>a=-3

=>M(-3;4)

Tâm \(I\left(-2;4\right)\) bán kính \(R=\sqrt{5}\)

Thay \(y=0\Rightarrow\left(x+2\right)^2+16=5\Rightarrow\left(x+2\right)^2=-11\) (vô nghiệm)

Vậy Ox không cắt đường tròn

Theo tính chất tiếp tuyến ta luôn có \(IM\perp MA\Rightarrow\Delta IAM\) vuông tại A

Theo Pitago: \(MA^2=IM^2-IA^2=IM^2-R^2\)

Mà \(R=\sqrt{5}\) cố định \(\Rightarrow MA_{min}\) khi \(IM_{min}\)

\(\Rightarrow M\) là hình chiếu vuông góc của I lên Ox \(\Rightarrow M\left(-2;0\right)\)

Bán kính đường tròn: \(R=\sqrt{10}\)

\(O=\left(2;0\right)\) là tâm đường tròn

\(\Rightarrow OM=\sqrt{\left(1-2\right)^2+\left(-2-0\right)^2}=\sqrt{5}< R=\sqrt{10}\)

\(\Rightarrow M\) nằm trong đường tròn

Kết luận: Số tiếp tuyến kẻ được từ M đến đường tròn (C) là 0.

-2/3

C

Đường tròn (C) có tâm I (3 ; 3) và có bán kính

\(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} = \sqrt {9 + 9 - 14} = 2\)

Điểm M(x;0) thuộc Ox.

Từ M kẻ hai tiếp tuyến tiếp xúc với (C) tại A và B. Ta có:

\(\widehat {AMB} = {60^ \circ } \Rightarrow \widehat {IMB} = {30^ \circ }\)

\(\Rightarrow IM = {R \over {\sin {{30}^ \circ }}} = 2R = 4\)

\(IM = 4 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + 9} = 4\)

\(\Leftrightarrow {x^2} - 6x + 2 = 0\)

\(\Leftrightarrow x = 3 \pm \sqrt 7\)

Vậy có hai điểm M thỏa mãn đề bài, chúng có tọa độ là :

\({M_1}\left( {3 + \sqrt 7 ;0} \right)\) và \({M_2}\left( {3 - \sqrt 7 ;0} \right)\)